例えば、eのxy乗の1階偏導関数を求めよとあった場合、どう答えれば良いのでしょうか?
また、例えば、eのxy乗を4次までマクローリン展開せよとあった場合、どう答えれば良いのでしょうか?
x,y両方についてやって、答えを2つ書くので良いのでしょうか?
教えて下さい!

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A 回答 (5件)

なんどもすみません。

先程の
>もとの関数が x,y の入れ替えに対して対称なので
>x、y、x^2*yなどの項はすべて消え
は大嘘です。
今の例の場合は直感的に

 e^(xy) = 1 + A*xy + B*(xy)^2

のようになると思ってしまったので。(この例では正しいです。)
一般的にはもとの関数がx、yに関して対称でも
x、yなどの項が消えるとは限りません。
xとyの係数や x^3*yとx*y^3の係数などがそれぞれ等しければ問題はないです。
混乱させてしまいました。
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この回答へのお礼

何度もご丁寧にありがとうございました!

お礼日時:2001/01/22 01:11

●問題が不備です。

e^(xy) を z=e^(xy)で偏微分したら1です。e^(xy)をz=xyで偏微分したらe^(xy)です。e^(xy)をz=x+yで偏微分したら....。全部正解ですね。
●問題集に載ってたのなら、多分アホが問題作ってますから捨てましょう。試験でこんな問題が出たらstomachmanなら試験官に質問します。
●強いて深読みすればe^(xy) をf(x,y)で偏微分した場合の一般公式を書くということになりますが、出題者がアホの場合に備えて、xとyによる偏微分の答えも一緒に書いておきましょうね。ただし、きっちり「例えばxで偏微分すると」と書いておきます。そして最後に「また例えばyで偏微分すると、上記の答えでx,yを入れ替えた物になる。」と書いとくのがスマートでは?
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この回答へのお礼

出題者のアホさ(笑)を考慮に入れなかった自分を反省します。ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/01/22 01:18

補足です。



>例えば、2次の項は
> ∂^2/∂x^2,∂^2/∂x∂y,∂^2/∂y^2
>などの x^2、xy、y^2 の3項があります。
このように書きましたが、質問の e^(xy) の場合
もとの関数が x,y の入れ替えに対して対称なので
x、y、x^2*yなどの項はすべて消え
回答は

e^(xy) = 1 + A*xy + B*(xy)^2

という形になるはずですね。A,Bなどの係数は自分で計算してください。
少しヒントを出しすぎましたか?
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>eのxy乗の1階偏導関数を求めよとあった場合


∂f/∂x、∂f/∂y の2つを求めると思います。

>eのxy乗を4次までマクローリン展開せよとあった場合
Σ1/n!(h*∂/∂x + k*∂/∂y )^n*f(x0,y0)
h=x-x0,k=y-y0
を計算するのではないかと思います。(Maclaurin の場合は(x0,y0)=(0,0) )
例えば、2次の項は
 ∂^2/∂x^2,∂^2/∂x∂y,∂^2/∂y^2
などの x^2、xy、y^2 の3項があります。
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偏導関数にしても、マクローリン展開にしても、どの変数に対して求めるのかが指定されていなければ、それは問題の不備であって、答えることはできません。



魚屋に行くとタイ1匹1000円、ヒラメ1匹500円で売っていました。3匹でいくらでしょう。

という問題に答えられないのと同様です。
出題者に意図を正してみましょう。
超いじわる問題で、「zについて」の1階偏導関数を求めていたりなんかしたら、最悪ですよね:-P

もしそれができないのであれば、この問題はxとyについて対称ですから(xとyを入れ替えても問題が変わらない)、xについてだけ解けばよいでしょう。
答えのxとyを入れ替えることで、yについて解いた答えが得られます。
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この回答へのお礼

そうですよね。問題が不備ですよね。ありがとうございました!

お礼日時:2001/01/22 01:14

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