曲線と曲線の交点を通る曲線の求め方（曲線群）

Question

皆様、こんにちは。

円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る円の方程式は全て
kf(x,y)+lg(x,y)=0の形で表せると習ったのですが、

これの応用で
円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る三次曲線は全て
(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0・・・・(1)
の形で表せるのでしょうか？

もし2円の交点を通る3次曲線が全て(1)で表せるのでしたら
その証明方法なども教えてください。

よろしくお願いします。

kts2371148 · Accepted Answer

＃１さんがすでにご指摘の通り、
三次曲線をすべて (1) で表すことはできません。
そして、kf(x,y)+lg(x,y)=0 も、
二次曲線すべてではなく、円だけを表しているにすぎません。
でも、vigo24 さんの着眼点はなかなかおもしろいと思います。
これをヒントにして、次のように考えてみました。

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2
とおきます。そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 が
円であり、２点で交わるものとします。
（円でない場合もありますし、２点で交わらない場合もあります。
詳細は http://okwave.jp/qa3076718.html をご覧下さい。）

f3(x,y) = f1(x,y) - f2(x,y) = (l1-l2)x + (m1-m2)y + (n1-n2) とおきます。
すると、f1(x,y) = 0 かつ f2(x,y) = 0 ならば f3(x,y) = 0 が成り立ちます。
これを利用して、次のような方程式を考えてみます。
f4(x,y) = a f1(x,y) + b f2(x,y) + (cx+dy) f3(x,y) = 0

まず、f4(x,y) = 0 が二次以下の曲線になることはすぐにわかります。
そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 の交点を (x1,y1) , (x2,y2) とすると、
f1(x1,y1) = 0 かつ f2(x1,y1) = 0 ですから、f3(x1,y1) = 0 となり、
f4(x1,y1) = a×0 + b×0 + (c x1 + d y1)×0 = 0 となります。
ですから、f4(x1,y1) = 0 , f4(x2,y2) = 0 となり、
曲線 f4(x,y) = 0 は f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 の交点を通ります。

さて、問題となるのが、f4(x,y) = 0 が２点を通る二次以下の曲線を
すべて網羅しているかどうか、ということです。
このことについて厳密な証明はしていませんが、
二次以下の曲線は ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 で表せます。
つまり、パラメータは６個（０でない係数で割れば５個）必要です。
そして、曲線 f4(x,y) = 0 のパラメータは、a,b,c,d と交点２個で、
やはり６個（０でない係数で割れば５個）あることになります。
ですから、f4(x,y) = 0 の形で、
２点を通る二次以下の曲線をすべて表せているものと思われます。

ここからいろいろ発展させることができると思います。
例えば、円と円の交点ではなく、二次曲線と二次曲線の交点で、
交点が４個あるとすれば、k1 f1(x,y) + k2 f2(x,y) = 0 の形で
交点を通る二次曲線を表せるかもしれません。
vigo24 さんのもともとの質問である、円と円の交点を通る三次曲線も、
(a1 x + a2 y + a3) f1(x,y) + (b1 x + b2 y + b3) f2(x,y)
+ (c1 x^2 + c2 xy + c3 y^2) f3(x,y) = 0
の形で表すことが可能ではないかと思われます。
（上記の形ではパラメータが１つ多すぎるので、
不要なパラメータが含まれていると思います。）

kkkk2222 · Answer

＞＞三次曲線。

二次曲線ならば名称のついたものが３種類とわかるのですが、
三次以上となると、極形式（極方程式）で表現される曲線の中で、ＳＩＮ・ＣＯＳが消去されたのが幾つかあったような。レムニスケートは四次のようです。
閑話休題。

＞＞円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る円。
＞＞kf(x,y)+lg(x,y)=0
この話と円以外の曲線の話は直接の関係はないと思うのですが。
f(x,y)=0、g(x,y)=0を他の曲線に置きなおしたとしても、両曲線以外とは、やはり関連がないと。

＞＞kf(x,y)+lg(x,y)=0の形で表せる。
此の理由はふたつあって、
ひとつは此の式をk、l　につての恒等式と見て、f(x,y)=0、g(x,y)=0となり、交点を通る。
もうひとつは、k、l　を定数と見て変形させると円の方程式となる。

話としては此れで完結していて、
k、l　を　x,y　の関数に置き換えた、(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0　が何を表現しているかも判らないのです。

元の話では、k、l　を　x,y　の関数と見ることができない。
k、l　が　x,y　の関数ならば、恒等式と見る事が出来ない。
となると、(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0　が交点を通ることも怪しい事になります。

逆に書くならば、
交点を通る。
→f(x,y)=0、g(x,y)=0
→２交点の座標Ａ（ｘ１、ｙ１）、Ｂ（ｘ２、ｙ２）
→(a＊ｘ１+b)f(x,y)+(c＊ｘ１+d)g(x,y)=0
→Ｋ＊f(x,y)＋Ｌ＊g(x,y)＝０
と話は元に戻ってしまいます。
ーーー

Quattro99 · Answer

出来ないように思います。
3次曲線はAx^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0で、0でない係数で両辺を割ったとしても係数に文字が9個ありますから、曲線を確定させるには9つの点が必要です。
ご質問の(1)式には文字が4つしかなく、円の交点2つとそれ以外に4点あれば確定してしまいます。従って、3次曲線のうち特定のものしか表せていないのだろうと思います。

円の方程式のところのkf(x,y)+lg(x,y)=0はkとlのうち0でない方で両辺を割れば（両方0では方程式にならない）文字は1つということになり、2円の交点とそれ以外に1点があれば確定します。しかし、これは求める曲線が2次曲線のうちの円であるという限定条件があるから計3点あれば確定するのであって、2円の交点を通るすべての2次曲線を表せてはいないのはもちろんです。

曲線と曲線の交点を通る曲線の求め方（曲線群）

＃１さんがすでにご指摘の通り、

＞＞三次曲線。

出来ないように思います。

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