p^q=aのときq^pは？

タイトルとおりなのですが、p^q=aのときq^pをaの式で表せるでしょうか。
質問しておきながら、不可能な気がするんですけど、もし不可能ならその証明を教えていただきたいです。おねがいします。

No.6 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/05 08:14

トリック ? を一つだけ。

p^q = a のとき、
q^p = a^r　　　： r=p*Ln(q)/{q*Ln(p)}
　　
　　
　　

No.5 回答者： syouji_08 回答日時： 2007/07/04 19:08

まず、

a = p^q
b = q^pとおくと、

bをaのみの式で表せるためには、a,bの関係式で表せなければならない
かと思います。

もし、

c = p/q
d = q/p

と与えられているのであれば、

cd = 1という関係式で表せます。
これはcd平面上の双曲線ですね。

今度は、以下の場合について考えてみると、

c = 2pq
d = p^2 + q^2

上記の(c,d)の範囲を図示すると、
d≧cとなり、その存在範囲は曲線ではなく、平面となるので、
c,dの関係を等式で表現する事は出来ません。
この場合、例えば、c = 5のとき、d≧5となるわけで、
dをcの式で表す事は不可能である事は言えますね．．。
このように、あるcの値に対してdの値が無数に存在するような場合
は曲線にはならないと思われます。

これを踏まえ、

a = p^q
b = q^p

の場合に(a,b)の存在範囲は曲線の式で表せるかを図示してみれば、
連続曲線の式では表せそうにありませんね。

例えば、a = 2のとき、

b = {(log 2)/(log p)}^pとなり、bはpの連続関数となり、
p > 1の範囲で考えてみても、取り得る範囲は、b > 0なので、
a = 2に対して、bの値は無数に存在する事となり、
bをaの式で表す事は不可能ではないでしょうか？

これでは、証明になってませんよね？

この回答へのお礼

おっ
おぉっっ！
おぉぉっっ！！
と、なるほど！と言う気持ちを高ぶらせながら読み進んできたのに、
>これでは、証明になってませんよね？
って最後に書かれて、いやいやいや ( @@)/シ って感じです。

まるで、これから来るか？来るか？……おわりかよ、という気持ちになった、初めてカリブの海賊に乗ったあんな気分ですよ。最近リニューアルしたんでしたっけ？

一言で言うならば、いろいろな証明があるんですね。という感想です。
tarameさんのも立派な証明だと思いますし。

しかし純粋な気持ちで、p/q は q/p で表せるのに、p^q は q^p で表せないってのは不思議ですよね。（下にも書きましたが。へへ。）

お礼日時：2007/07/05 00:06

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/04 17:22

正面攻撃は見通せません。

、
とりあえず
　　p^q = a =q^p　　…(1)
が成立する条件でも調べてみましょう。

----------------------
p/q = r とすれば、
　　q^p = (p/r)^(qr) = (a/r^q)^r = a*[p^{q*(r-1)}/r^p]
であるから、
　　p^{q*(r-1)}/r^p = 1
のとき、式(1) が成立。

[例] p=2, q=4 の場合。
　　p^{q*(r-1)}/r^p = 2^{4*(-1/2)}/(1/2)^2 = 2^(-2)}*2^2 = 1
だから式(1) が成立する。
実際、2^4 = 4^2 = 16 。
----------------------

このように p^q = a のとき q^p を a で書ける場合もあり、かえって一筋縄ではくくれない難問になっているようです。

この回答へのお礼

リトライ(？)ありがとうございます
>p^q = a のとき q^p を a で書ける場合もあり
というかこの場合 a そのものですね。

別に、pとq に好きな整数（または嫌いな整数）を入れれば必ずaで表せると思います。
たとえば、p＝3 , q＝2のとき
a＝9です。
ここで q^p＝8 なので q^p＝a－1 です。

表せました/(^^)/イェーイ

…ってもちろんそんなことは無意味です。

>p^q = a のとき q^p を a で書ける場合もあり
再び同じ部分を引用してしまいましたが、これはできないことがあるということで、178tallさんはすでに結論を出してくださっているということですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/07/04 23:53

No.3 ベストアンサー 回答者： tarame 回答日時： 2007/07/04 12:49

178tallさんが示している「一意性でない」が答えじゃないですか。

表せない証明ですか？
反例をあげればいいのでは？
　２^6＝64　→　６^2＝36
　４^3＝64　→　３^4＝81
　８^2＝64　→　２^8＝256
「64」だけから、36,81,256を区別してもとめることはできない！！！

この回答へのお礼

おぉw(°o°)wなるほど
いままで pとq の一意性のみに注目していました。
つまり、aを固定し、a＝p^q なる pとq を実際にいくつか見つけて q^p＝b を計算するとbは一通りではないから無理ってことですね。
「つまり」とか書いときながら余計わかりにくくなってしまった？！

でも、逆数の場合、同様の議論をすると、
s/t＝3/1＝51/17＝111/37とすると、
1/3＝17/51＝37/111＝t/sとなるのは不思議ですね。

お礼日時：2007/07/04 23:40

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/04 07:22

>b＝p/q のとき pもqも決定しないのに、q/p は明らかにbの式で表せます。

（もちろんいずれも0でないとしますが）
>これはどういうことでしょうか。

あ、トラップ(罠)でしたか。.... 軽率でした。

「p, q への二項演算で、その結果 a だけから計算可能な、他の二項演算」で考え直せ、ということですね。
ギブアップです。

この回答へのお礼

はじめてギブアップという回答をもらいました。
別にトラックでもトラップでもありません。へへ。

お礼日時：2007/07/04 23:28

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/03 22:45

>p^q=aのときq^pをaの式で表せるでしょうか。

a は実数なのでしょうね。
a「だけ」の式で表せるか、というのなら不可能。a → {p, q} は一意的に決まりませんから。

{a, p, q} が整数ならば、どうでしょう。
たとえば p が素数なら、p^q=a は a の素数分解とみなせますから、a → {p, q} が一意的に決まります。
つまり、a を素数分解して a=P^m の形になる場合なら、q^p = m^P として求める、というアルゴリズムが成立します。

ほかにも例はありませんでしょうか ?

この回答への補足

簡単のため、aもpもqも実数としてください。書き忘れてすみませんm(__)m

一意性は、私もこの質問を投稿する前にちょっと考えました。
しかしたとえば b＝p/q のとき pもqも決定しないのに、q/p は明らかにbの式で表せます。（もちろんいずれも0でないとしますが）
これはどういうことでしょうか。

素数限定の考え方はちょっと研究（？）してみます。

補足日時：2007/07/03 23:53