振り子の問題について （平衡点など

d^2x/dt^2 + a*dx/dt +sin(x)=0

この問題は非線形微分方程式です

dx/dt=y
dy/dt=-a*y -sin(x)

とおいて連立させて平衡点を求めれば
（0,0）（0,π）？になるとお思います

この微分方程式を平衡点のまわりで線形化させたいのですが解法が全然分かりません
アドバイスをいただけるか参考サイトを教えていただけけないでしょうか

No.2 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/14 03:29

まず、平衡点は速度 dx/dt = 0 でおいたときに、d^2x/dt^2 = 0 になるところですので、x = 0，π が平衡点ですね。

（ポテンシャルを考えてその極大極小で考えても同様。）

あとは＃１にもあるように、このまわりで sin(x) をテイラー展開すれば良いわけです。

x = 0 のまわりなら、
sin x = x - O(x^3) ≒ x
方程式は d^2x/dt^2 + a*dx/dt + x = 0

x = π のまわりなら、y = x-π とおくと y が小さくなるので、
sin x = sin (π + y) = sin π cos(y) + cos π sin(y)
= - sin(y) ≒ - y
dx/dt = dy/dt, d^2x/dt = d^2y/dt^2 より、
方程式は d^2y/dt^2 + a*dy/dt - y = 0

ですね。

この回答へのお礼

とても分かりやすく丁寧に解説していただきありがとうございます。
この回答のおかげで疑問のほうもすぐに解決しました。

お礼日時：2007/07/14 04:59

No.1 回答者： ahoahoaho3 回答日時： 2007/07/14 03:07

x = 0+dx, π+dx

と置いて、sin(x) を一次までテイラー展開すれば良いと思います。

この回答へのお礼

回答のほうありがとうございました。

お礼日時：2007/07/14 05:00