定積比熱と定圧比熱とボルツマン定数の関係

シリンダー内にn(>>1)個の分子からなる理想気体が入っている。その気体の圧力、体積および絶対温度をそれぞれP、VおよびTとすると、PV=nkTの関係が成り立つ。ここでkはボルツマン定数である。

(1)圧力一定の条件で外部から微小熱量d'Qをゆっくり与えることにより、体積がdV増加し内部エネルギーUもdUだけ増加したものとする。d'Q、dVおよびdUの関係式を書け。

(2)体積一定の条件で温度を微小変化させ熱量d'Qを与える過程から分子1個あたりの定積比熱c_V（cに下付きでV、以下、下付きの文字の前には_を付けることとする)が定義される。定義式より熱量の項d'Qを消去し、c_Vをn,V,TおよびUを用いて表せ。

(3)圧力一定の条件で温度を微小変化させ熱量d'Qを与える過程から分子1個あたりの定圧比熱c_Pが定義される。定義式より熱量の項d'Qを消去し、c_Pをn,k,P,TおよびUを用いて表せ。

(4)理想気体の内部エネルギーは温度のみの関数である事実を用い、(1)～(3)で求めた式よりc_V,c_Pおよびkの間の関係式を求めよ。



(1)は、熱力学第一法則より、d'Q=dU+PdVということが分かりました。

(2)に関しては、定積なのでd'Q=dUとなり、c_V=(1/n)(d'Q/dT)_V=(1/n)(dU/dT)_Vということまでは分かったのですが・・・このままではダメですよね？実際に積分して、U=n・c_V・T＋U_0（U_0は積分定数）としても、問題文にあるVを使っていないことになりますし・・・

(3)に関しても、(2)と同じでよく分かりません。c_P=(1/n)(d'Q/dT)_P=(1/n)((dU+PdV)/dT)_Pから、どうしたらいいのか…。dVはあるし、kは用いてないしで・・・。

結局のところ、(2)(3)が明確に分からないため、(4)も解けません。

どなたか、ご教授のほど、本当によろしくお願いします。
かなり色々な熱力学に関する本を読んでみたのですが、(2)(3)の解き方が分かりません・・・

No.1 ベストアンサー 回答者： T-gamma 回答日時： 2007/07/24 13:12

>(2)に関しては、定積なのでd'Q=dUとなり、c_V=(1/n)(d'Q/dT)_V=(1/n)(dU/dT)_Vということまでは分かったのですが・・.。

いいと思いますよ。正確には偏微分ですので
nＣｖ＝(∂Ｕ/∂Ｔ)ｖ　(nは右辺の方がいいですが、見にくいのでこうしました)

>(3)に関しても、(2)と同じでよく分かりません。c_P=(1/n)(d'Q/dT)_P=(1/n)((dU+PdV)/dT)_P

もう少しですね。
((dU+PdV)/dT)_P=(dU/dT)_P+P(dV/dT)_P
とできるので、第２項は状態方程式を考えるとボルツマン定数とnで表せるはずです。

以上を考えた後、(4)も挑戦してみてください。
ヒント：理想気体の内部エネルギーはＴのみに依存するので、圧力一定でも体積一定でもΔＴが同じならΔＵも同じはず

この回答へのお礼

全問分かりました！！

本当に助かりました！！

本当に、本当にありがとうございます！！


(2)に関しては、確かに本来変数であるVを定数とし、内部エネルギーは
温度にのみ依存するとしているので、偏微分ですね(^^;)

(3)に関しては、((dU+PdV)/dT)_P=(dU/dT)_P+P(dV/dT)_Pとし、第２項
に対して状態方程式を考えると、P(dV/dT)_P=nkとなり、問題に沿った答えになりました！この助言、本当に助かりましたm(_ _)m

(4)のヒントも助かりました。
答えはc_P-c_V=kとなりました。

この問題は、なかなか頭の中が整理できず、苦戦してました。

的確なアドバイス、本当にありがとうございました！！

お礼日時：2007/07/24 16:03