平方根

√(24a)が自然数となるような自然数aの値をもとめるとき
√(24a)=2√(6a)と表せます。

a=6*(m^2) （mは自然数)
と表されるのがわかりません

No.5 回答者： imopro 回答日時： 2007/07/24 19:07

√(6a)について．

aが6ならば，√(6a)=√(6^2)=6となり，整数になってますよね．
でも，√(6a)が整数になるのは他にも無限にあるんですよ．

a=6*1^2 → √(6a)=√{6*(6*1^2)}=√(6^2*1^2)=√(6^2)*√(1^2)=6*1=6
a=6*2^2 → √(6a)=√{6*(6*2^2)}=√(6^2*2^2)=√(6^2)*√(2^2)=6*2=12
a=6*3^2 → √(6a)=√{6*(6*3^2)}=√(6^2*3^2)=√(6^2)*√(3^2)=6*3=18
　　　　　　　　＊
a=6*k^2 → √(6a)=√{6*(6*k^2)}=√(6^2*k^2)=√(6^2)*√(k^2)=6*k=6k (kも整数)

このように，a=6*m^2の形にする事で，条件を満たせます．
まず，aに6を入れる事で√(6a)を整数にし，更にm^2をルートの中に追加してつっこんで，√(m^2)=mというふうに整数化してると思うといいのではないでしょうか．

No.4 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/24 18:26

こんにちは。

皆さんので正しいのですが、
最もストレートかなと思う方法を書きますね。
最初はそういう方法のほうがわかりやすいかと思うので。

まず、2√(6a)が自然数ということは、当然
√(6a)が自然数でなければいけませんね。
これを n と置きます。すると、
6a=n^2 になりますね。
a=n^2/6 になります。

ところで、a自体、自然数でなければならないわけですから、
a=n^2/6 の分母の6と分子のn^2を約分して分母の6が消えなければなりません。
故に、n=6mとおけるはずです。
従って、a=(6m)^2/6=6m^2 になりますね。


もう少し詳しい別解を書いておきますね。

[別解] 6a=n^2 を導出するところまで共通です。
この式は、nの中に6という因子が無ければ成立しません。
実際 n=6m+k （kは0≦k≦5の範囲の整数）とおくと、
n^2=(6m+k)^2 = 36m^2+12mk+k^2=6(6m^2+2mk) + k^2 = 6a
より、k^2=6b とおける（bは整数）
ところが、0≦k≦5 の範囲でこれを満たすのは k = 0 のみ。
故に、n=6m
故に、a=(6m)^2/6 = 6m^2

No.3 回答者： mgsinx 回答日時： 2007/07/24 18:07

24を素因数分解すると、

24=(2^3)×3
=(2^2)×2×3
となります。これより、ルートの外に出せるものを全て外に出すと、
√(24a)=2√(2×3×a)
です。
ルートが外れる条件はルートの中身が何か（今回は自然数）の2乗になっていることなので、
(2×3×a)を(自然数)^2の形で表すためには、aは2×3×m^2の形になっていなければなりません。
aが以上の条件を満たしていれば、
2×3×a=2×3×(2×3×m^2)
=(2×3×m)^2
となり、ルートが外れます。

No.2 回答者： ariman_A 回答日時： 2007/07/24 18:06

√24a＝2√(6a)　

これが自然数になるには√6a＝√6×√aが自然数にならないといけないわけです。
例えばaを自然数xとしましょう。

√6が自然数になるためには√6を掛けなければなりません。
√mが自然数になるためには√mを掛けなければならないわけです。
これをまとめると、
√6mが自然数となるには√6x×√6×√mではじめて自然数になります。
これを纏めると
√6*6*m^2である時に自然数となるわけですから、
整数aは6*m^2とならなければなりません。

No.1 回答者： tinantum 回答日時： 2007/07/24 18:02

nを自然数としたとき，√nが自然数であるための必要十分条件は，ある自然数kがあって

n=k^2
と書ける場合です．（実際 n=k^2だったら，√n=kとなって自然数になりますね？逆に√nが自然数ならば,その自然数をkとおいて，√n=kの両辺を2乗するとn=k^2となりますね．）
このことに注意して考えると納得できますよ．わからなければ解答を書きます．