保存力のポテンシャル？

保存力のポテンシャル
Θ（x,y,z)　＝　-a/√(x^2＋y^2＋z^2)
で与えられるとき力の表式を導け
っていう感じの問題なんですけど、
ポテンシャルを微分すると保存力の大きさになるらしいってことはわかったのですが、
まずこのこと自体が全く理解できないんです。
わかりやすく教えてもらえたら幸いです

No.1 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/25 03:26

ポテンシャル φ(x,y,z) が与えられているときに、

力のベクトル F = (F_x,F_y,F_z) は、

F_x = - ∂φ/∂x などでわかります。

> ポテンシャルを微分すると保存力の大きさになるらしいってことはわかったのですが、

これは、ポテンシャルが r = √(x^2 + y^2 + z^2) の関数で書けているときに、それを r で微分すると、保存力の大きさになる、という意味ですよね。

φがrの関数で書けているとは、φ(x,y,z) = f(r) と書けることです。
この r はベクトル r ではなくて、その大きさ r=√(x^2+y^2+z^2) です。

F_x = - ∂φ/∂x

に代入しますね。

F_x = - ∂r/∂x・df(r)/dr はわかりますよね？

最初のファクターが偏微分なのは、r には y と z も含まれるので、それらを一定にして x で微分するからです。二つ目のファクターが普通の微分なのは、f(r) は一つの変数 r だけの関数なので、偏微分にする必要がないからです。

実際に ∂r/∂x を計算してみると、x/r になります。
故に、F_x = - x/r・f'(r) です。

y,z 成分も同様に計算して、

ベクトル F = - (x,y,z)/r・f'(r) が得られます。

(x,y,z)/r は、原点から座標(x,y,z)に向かう外向きの単位ベクトルですので、力の大きさが f'(r) になることがわかります。

さて、ご質問の Θ（x,y,z)　＝　-a/√(x^2＋y^2＋z^2)
は、= -a/r と書けるので、r だけの関数です。
これを上の式のようにして微分すると、

ベクトル F = - a/r^2・(x,y,z)/r になります。

この大きさは、a/r^2 で、方向は原点に向かう方向です。