面積速度一定の法則を(1/2)r v sinθを使って証明する方法

面積速度を求める式として下記3つを知りました。

　・1つ目：位置ベクトルrと速度ベクトルvの成す角度θを使う式
　　(1/2)r v sinθ

　・2つ目：中心角θを使う式
　　(1/2)(r^2)dθ/dt

　・3つ目：位置ベクトルrと速度ベクトルvの外積を使う式
　　(1/2)(r × v)

また、面積速度一定の法則の証明方法として下記2つを知りました。

　・2つ目の式を使った証明方法
　　極座標のθ方向の運動方程式を変形すると2つ目の式が出てくるので、それを使って、
　　角運動量が一定になることを示して、面積速度も一定になることを示す。

　・3つ目の式を使った証明方法
　　運動方程式にrの外積をかけて変形すると3つ目の式が出て来るので、それを使って、
　　角運動量が一定になることを示して、面積速度も一定になることを示す。

ただ、1つ目の式を使った証明方法が分かりません。
これに関しても、運動方程式を変形すると1つ目の式が出て来るような
証明方法があるのでしょうか？
ご存じの方、教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/25 13:29

r, vがベクトルの積もりなら、(1つ目)は(1/2)|r||v| sinθ、(2つ目)は(1/2)(|r|^2)dθ/dtでしょうよ。

で、(3つ目)はその大きさ(1/2)|r × v|だけしか使ってない。ということは(1つ目)と(3つ目)は全く同じです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考書を読みなおしたところ、
「ベクトルの外積の大きさは |r × v| = |r||v| sinθ で表現される」
と書いてありました。
1つ目と3つ目は同じ意味なんですね。

お礼日時：2023/06/25 17:59

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/26 05:35

いずれも、rとvΔtのなす三角形の面積/Δt

という意味では同じ。

面積は向きを持つベクトル量とするのが
良いので、3つ目が使い易い。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/06/26 22:15