レトロゲー「虹のシルクロード」

初投稿です。数学は苦手なので、猛者の皆様に答えて頂きたく参上しました。できるだけ詳細に伝えたいため長文ですが、お付き合い頂ければ幸いです。
今、ＦＣの「虹のシルクロード」というＲＰＧをやっております（ちなみに３周目です）。このゲームの肝は、敵を倒してもお金は獲得できず、主人公が少ない元手から様々な商品を仕入れ、別の町へ赴いて転売し、その差益で、より高価な商品を仕入れたり、武具を揃えたり、傭兵を雇ってイベントを攻略していくという独自システムです。そこでその転売についての質問です。以下数字が複雑ですが、ゲームに忠実に再現したものなのでご勘弁を。

　　　　　　ラオス　　　　 バンコク
　胡椒　　２３８５Ｇ　　　２６３５Ｇ　
唐辛子　 ３２６５Ｇ　　　３０１５Ｇ　　　　　　
　楽器　　４２７５Ｇ　　　３９２５Ｇ
　香水　　４６２０Ｇ　　　４９７０Ｇ

補足　
これらはそれぞれ１単位の値段です、合計で５５単位までしか持てません、もちろん購入量が５５に満たなくても何ら問題ありません。
このゲームは売値も買値も同額です。

今回はラオスで仕入れ、バンコクで売るルートについて考えて頂きます。
ご覧のようにラオスで胡椒を購入し、バンコクで売れば差益は１単位当り２５０Ｇ、一方香水の売却益は３５０Ｇですね。故に４６２０×５５である、２５４１００Ｇあれば５５単位丸々香水を購入し、売却益は最大になります。しかし２０００００Ｇしかない場合、胡椒と香水をどう組み合わせて購入すれば利益を最大化できますか？
立式（普遍性を持たせるため文字で表記して頂けると、より助かります）と「なぜそうなるのか？」の解説をお願いします（＾∧＾）

中学の知識で解けそうで解けなさそうな、式は一つで済みそうで済まなそうな感じが、モヤモヤして本編手につかないッス(^_^;)

No.2 回答者： 06171007 回答日時： 2007/08/08 03:25

胡椒x　香水y　買うと仮定します。

55個しか買えないという条件から、
ｘ＋ｙ≦55―(1)

お金が200000Ｇしかないという条件から、
2385ｘ＋4620ｙ≦200000―(2)

また、利益ｚ＝250ｘ＋350ｙ―(3)
とおけます。

(1)と(2)の連立方程式より、２本の直線の交点を求めます。

(3)を変形し、
350ｙ＝ｚ－250ｘ
ｙ＝－5/7x＋z/350―(4)　　　という形にします。

今、ｚが最大になればいいので、(4)式のｙ切片が最大になるような
位置をグラフから探します。今回は、直線の交点の位置になります。
　
この場合であれば、胡椒24、香水30買って、購入代金は198540Ｇと、200000Ｇ以下におさまり、利益は70500Ｇになります。

普遍性のある解き方ではないですが、基本的にグラフを書いて図で
考えればわかる問題です。どうしても定式化したければ、難しいですが
シンプレックス法という解き方があります。

この回答へのお礼

06171007さんも御回答下さっていたのですね、ありがとうございます。ドモ～♪ヽ(^-^ )
すいません初心者なもんで色々もたついて、お礼もせずにシャットアウトしておりました。ちょうどtakusoeさんの解説の補助として数字を打ち込んで下さったようで、イメージしやすくて助かりました。ちなみにこの質問をする前、（ミスリードしてしまうかもしれないので、書き込みませんでしたが）一応私なりには解こうと努力しました。06171007さんの御回答を拝見するに、(1)(2)は自分も条件に置きましたが、
利益ｚ＝250ｘ＋350ｙ―(3)の式は気づきませんでした。解けなかった理由もはっきり自覚できて大満足です、有難うございました～！！
どもども( ^-^)∠※.。・:*:・°`☆、。・:*:・°`★

お礼日時：2007/08/08 03:57

No.1 ベストアンサー 回答者： takusoe 回答日時： 2007/08/08 02:51

計画数学という分野でありそうな気がします。

　　　ラ　　バ　差　買う個数
胡椒　a1 b1　c1　　x1
唐辛　a2 b2　c2　　x2
楽器　a3 b3　c3　　x3
香水　a4 b4　c4　　x4

というように文字を使ってお金と差額、買う個数を表します。
また所持金をＭ、購入限界量をＫとします。
ここで条件

１、x1*a1 + x2*a2 + x3*a3 + x4*a4 <= Ｍ
２、x1+x2+x3+x4 <= Ｋ

の上で次の式の値Ｚを最大化することを考えます

「Ｚ = c1*x1 + c2*x2 + c3*x3 + c4*x4」

以上が一般化の式で、あとはこれをとくのですが
（一応、ci<0 ならば　xi=0　は明らか）
今回の程度なら高校数学とかで解けますが
もっと大きくなってくると大変かもしれません。

今回の場合はc2,c3<0なので変数が２で高校の図形を使った
線形計画法で解けます★

ｚ=250*x1 + 350*x4
2385*x1 + 4620*x4 <= 200000
x1 + x4 <= 55

これはグラフで（x1、x4）を（x、y）平面だと思って具体的に
書き込んでというやり方です（後は大丈夫かと）

この回答へのお礼

takusoeさん御回答ありがとうございます！！なかなか返答がなかったので、今日は諦めて寝ようとした矢先でありました。線形計画法っていうのは存じ上げませんでしたが、理論はバッチリわかりましたよ！グラフって発想は浮かばなかったです。
このゲーム３周目と上記しましたが、確かにこの問題、毎回ひっかかってはいたんです。でもゲームに支障をきたす程でもないので、だいたいでこなしておりました。今回特に気になったのですが、攻略サイトにもそんな理論は載っておらず（そりゃそうか）、悶々としながらユーザー登録に一時間かけて、駆け込み寺の教えてgooに参った次第であります。この問題、「言われてみれば発売当時から気になっていた」という声無き声は意外に多いと思われますよ。我等の安眠をありがとうございました。ピース！(v^-^v) ピース！
では失礼しま～す。

お礼日時：2007/08/08 03:28