重心の問題

正三角形の重心の説明なんですが理解できません。正三角形ABCのBCの中点からAに線分を引く。BCに平行に細かい横線をひく。すると板のようになり、それぞれの板の重心は一直線に並び先ほど引いた線分に一致する。とあります。「よって全体の重心はこのライン上にある」

「」がわかりません。それ以前は図を描いてわかります。

どなたか教えて下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/24 10:10

重量挙げのバーベルで棒の重さを無視したものを考えます。

左右の重さが違っていてもいいです。

●－－－－－－－－○

という物体の重心は－－－－－この直線上にあることは問題ないですか？（●から何ｃｍかは●○の重さで異なりますが）

△－－－▲　の場合は微妙に直線からずれますね。

つまり、２つの物体をくっつけたものの重心は２つの物体の重心をむすんだ直線上にあるということです。

これが納得できたら、下に進んでください。　（納得できなかったら、重心の定義の式やモーメントの式を使って説明しなければいけませんね）

あなたの問題で、「一番下の板と２番目の板がくっついたもの」の重心はどこにありますか？　下の板の重心と上の板の重心をむすんだ線上にあります。これはとりもなおさず［例の直線］上です。次は「１２番目の板　と３番目の板をくっつけたもの」の重心の位置です。上の考え方で行けばこれも［例の直線］上にあります。・・・・・・・「下からほとんど全部の板をくっつけたものと　一番上の板をくっつけたもの」の重心も［例の直線］上にあります。　そして、これが三角形の板の重心の位置です。

この直線上のどこにあるか（２：１の位置・・・？）については別に考えてください。

この回答への補足

ありがとうございました。重心のベクトルとの交点を考えて理解することが出来ました。

補足日時：2007/08/24 22:23

No.4 回答者： Linandtete 回答日時： 2007/08/24 07:29

正三角形だけでなく、一般の三角形や長方形でも、「それぞれの板の重心は一直線に並び」「全体の重心はこのライン上」にあります。

ところが半円を対象にしますと「それぞれの板の重心」は一直線に並ばず、楕円の一部を描き、曲線状になります。この場合、全体の重心は曲線上にはなく、曲線から外れます。
全体の重心は、それぞれの板の重心を結んだ線の重心と一致します。厳密には三角形ですと、「結んだ線」の各部分の重さが変化します。三角形ですと BC 側が重く、A 側は軽い、細い棒をイメージできるでしょう。長方形ですと一様の重さですから、棒の中心が全体の重心です。三角形では BC 側に重心は偏ります。
半円のように棒が曲がっており、しかも各部の重さが変わると棒から重心位置は外れますが、三角形や長方形では経験から直線上に全体の重心のあることを想像できると思います。
「よって」以下は、棒を糸でぶら下げた感覚を求めており、厳密にはそれほど自明な事実ではありません。より厳密には、モーメントの合成、積分法の線形性などを勉強する必要がありましょう。

No.3 回答者： toranekosan222 回答日時： 2007/08/23 22:37

質問文が理解しにくいです。

おそらく「BCに平行に細かい横線をひく」という意味が間違っているのですが、

「すると板のようになり、それぞれの板の重心は一直線に並び先ほど引いた線分に一致する」

これの板のようになるっていう意味がとれま

そのために「このライン上にある」という説明は全く無意味です。

重心の説明ならば出来ます。

幾何学的な重心の定義は知っていますか?
「三角形の各頂点と対辺の中点を結ぶ線分の交点」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

これは正三角形でなくとも成り立つ定義です。

元々重心の定義自体は力学的なものです。(center of mass)ですから。

均一な物質で三角形が出来ているとしましょう。
そうすると面積は質量に比例します。
三角形のある頂点とその対辺の中点と線を結ぶと、
面積が同じな二つの三角形に分離できます。
よって、この引いた線を支えてやると、釣り合うわけです。
なぜなら左右の面積が一緒なら、質量も一緒なわけですね。
（おそらくこれが説明だとおもうが）

で、これを全ての頂点であてはめてやって、線を書くと
三つの線がかけます（頂点が三つだけだから）。そして、
三角形の内部で確実に交わります。その交点だけを
支えてやると、釣り合うわけです。

釣り合わないときというのは、頂点から対辺に結んで、左右に分離したときに左右の重さが違うことに等しい。
重心はどんな左右の分離の仕方（三通り）も満たすので、その点だけで釣り合う。


本当はベクトルを理解していると説明が早いのだが

この回答への補足

ありがとうございます。重心の数学的な定義は知ってるのですが、物理的にこの考え方が役立つのです。均一じゃなくて在る比で内分されている時とかです。意味はno1の方が行っている通りです。全体とはもちろん正三角形全体の重心です。

細かい板に分割した時にそれぞれの重心が１列にAからBCの中天に並ぶことは分かりますが、なんで「その中に全体の重心があるのか」ということが分かりません。

よろしく御願いします。

補足日時：2007/08/24 07:27

No.2 回答者： rubipapa 回答日時： 2007/08/23 22:37

全体とは正三角形全体という意味ではないですか。

No.1 回答者： edw-19 回答日時： 2007/08/23 22:36

ＢＣに平行に包丁で５つに切るのね。

んで、線引いた所が「かならず」やじろベーの中心になるの。

だから、その線のどこかに重心（中心）はある。
こう言ってるの。＾○＾；

多分、当たり前だと思ってるから
意味分かんないんじゃないの？＾＾；