JJサクライ下巻のp397(5.1.15)
摂動論ではないのですが、
さらりと触れられている箇所が納得できずにモヤモヤしています。
非常に弱い一次元の井戸型ポテンシャルを考えます。
V=-V0 (|x| < a)
V=0 (|x| > a)
λ>0 の引力に対して
E = - (2ma^2)/h^2 |λV0|^2
というようなエネルギーの束縛状態がある。
(ここでhはh/2πの意味です)
このエネルギーの式はどのように導いたのでしょうか。
単純な井戸型ポテンシャルでもなさそうですし、
トンネル効果と比較してもよく分かりません。
よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
>Eの形からエネルギーが低い状態はkが小さいわけだから
>ka が小さい場合として計算する、という頭の動きでいいでしょうか?
そんな感じです。
数学的には、-V0<E<0とE=h^2k^2/2m -λV0から、0<h^2k^2/2m<λV0である事によります。
どうもありがとうございました。
これで気分よくJJサクライを続きから読んでいけます。
とても助かりました。ありがとうございました。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
λが唐突に出てくるのですが、
|x|<aでV=-λV_0、あるいは同じ事ですが、ハミルトニアンをH=p^2/2m + λVとしているという事でいいですね?
エネルギーE(<0)の束縛状態の波動関数(のうち偶関数のもの)は、
x>aで、ψ=Aexp(-ρx)
|x|<aで、ψ=Bcos(kx)
x<-aで、ψ=Aexp(ρx)
のようになっています。ここで、E=-h^2ρ^2/2m=h^2k^2/2m -λV0です。・・・(◎)
※(λV0が大きければ)奇関数の束縛状態も存在しますが、基底状態のパリティが正なので、簡単のため奇関数の束縛状態は考えない事にします。
x=±aで、ψとその微分が連続という条件から、ρ=k tan(ka)が出てきます。・・・(☆)
※実際には、◎と☆の交点が固有状態を与えます。(もちろん、奇関数解で☆に相当する式も考える必要はあります)
λV0に関する最低次の項のみを考えると、
☆よりρ=k^2a.これと◎から、h^2k^2/2m=λV0となります。
故に、E=-h^2ρ^2/2m=-(2ma^2)/h^2 |λV0|^2となります。
すいません。V0にλをかけてポテンシャルエネルギーを
摂動のように扱っています。
大変詳しい解説ありがとうございました。大部分は理解できたのですが、
ρ=k^2 a を出す過程で ka が小さいとされていると思うのですが、
Eの形からエネルギーが低い状態はkが小さいわけだから
ka が小さい場合として計算する、という頭の動きでいいでしょうか?
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