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微分方程式の平衡点の安定性とはどうやったら判別できるのでしょうか?
例えば、dx/dt=x(1-x)(1/2-x)という微分方程式については
どうやって解けばいいですか?
下のようなサイトを調べましたが、どうもよく分りません。
http://www4.pf-x.net/~arataka/ode/node7.html

gooドクター

A 回答 (6件)

適当に座標をずらしてx=0が平衡点になるようにしてあるとします。

リアプノフ関数を
 V(t)=(x(t))^2
で定義します。もしx=0の適当な近傍の中で、すべてのtについてdV/dt<0 であるならば、この近傍内の解はx=0に収束し、x=0が安定平衡点は明らかです(安定でないのはすべてのtについてdV/dt>0 である必要はない)。dx/dt=x(1-x)(1/2-x)のx=0の平衡点を調べてみると、この点の近傍で
 dV/dt=2x・(dx/dt)>0
初期値が0より少し大きければ、dx/dt>0なのでオイラー法の次のステップではx=0からさらに大きくなっててしまう。0より少し小さければ、dx/dt<0なのでオイラー法の次のステップではx=0からさらに小さくなっててしまう。つまり安定ではありません。x=1/2を原点に持ってくるように平行移動して、x'=x-1/2と書き直し、x'の微分方程式に書き直して上記を適用すると、dV/dt<0すなわちx'=0は安定平衡点であることが示されるはずです。
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ygv123の者です。

(ANo1)


ANo5の回答で解決です。
非常にすっきりしてます。
簡潔に納得できます。
実に簡単、綺麗です。
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ygv123=No1


の補足連絡です。

No2・No3の回答でOKと思うのですけど。
やはり、
εーδ論法での回答がいるのかな?

数学ソフトが不具合なので、表示が大変です。
できれば、誰か助けて下さい。


時々覗き、なければ、
そのとき、微力ながら、書くこともあるかも?


ただ、わかります、その残りが????という
お困りが、、、

救い天使を私は待つ。
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下の回答で、Δt=0.1 としているので、「ExcelのA1セルに0.51、 A2のセルに数式=A1+0.1*A1*(1-A1)*

A1) を入力」に訂正します
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微分方程式の平衡点のことは参考書も枚挙にいとまがないし、サイトもあるので回答する必要はないのではないでしょうか。

Excelで数値実験をしてみると良いと思います。dx/dt=x(1-x)(1/2-x)の平衡点はx=0, 0.5, 1.0でオイラー法によれば
 x(t+Δt) = x(t) + Δt*x(1-x)(1/2-x)
なので例えばΔt=0.1 としてx=0.5 近傍の解を調べるためにExcelのA1セルに0.51 A2のセルに数式=A1+A1*(1-A1)*(1/2 -A1) を入力します。そしてドラッグアンドコピーでこの数式をA3以下の列にコピーします。するとA1のセルを初期値としてオイラー法で解いた結果が得られます。こうして調べてみるとx=0.5は安定な平衡点、x=0, 1.0は不安定平衡点であることがわかります。y=x(1-x)(1/2-x)のグラフを描いてみると、平衡点で、dy/dxの正負が平衡点が安定になるかどうかに対応していることがわかります。数値実験してみてわかるもう一つの事は、この方法では平衡点への収束が遅いことです。平衡点ではdx/dt=0 なので収束が遅くなってしまうのです。そのため数値的に平衡点を求めるためには
http://front.math.ucdavis.edu/0707.1596
にあるような工夫が必要になると思われます
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まず微分方程式を解く。


dx/dt=x(1-x)(1/2-x)
=x(x-1)(x-!/2)

{1/x(x-1)(1/2-x)}dx=dt

分解する。

{2/x + 2/(x-1) ー4/(x-1/2)}dx=dt


積分する。

lと |が解かりにくいので
logを Logとする。

2Log|x| + 2Log|x-1| -4Log|x-1/2|=t +c

2乗=^2  とする。

Logx^2・(x-1)^2/(x-1/2)^4=t +c

Logをはずす。

x^2・(x-1)^2/(x-1/2)^4=A・e^t

A=e^c

原式を尊重する。

x^2・(1-x)^2/(1/2-x)^4=A・e^t

1/2乗する。

|x|・|1-x|/(1/2-x)^2=B・e^(1/2)・t

B=√A



さてここから本論。
f(p)=0

f(p)=p(1-p)(1/2-p)=0

p=0
p=1
p=1/2

この3ッの平衡点 0  1   1/2

で定義に従って吟味する。

安定  漸近安定  不安定

でそれぞれ調べる。

δ ε での調査です。

あとできますか?


 

この回答への補足

回答ありがとうございます。
でもすいません、残りのδ、εでの調査がわからないです・・。

補足日時:2007/09/17 17:19
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