数学の問題（極限？）

ｆ(ｘ)＝(ｎ－１)ｘ^2+２ｘ－ｎ　；　　An={-1+√(n^2-n+1)｝/(n-1)
ｎ→∞でAn＝１です。

と表されるとき、　xにAnを代入して計算すれば最終的にf(An)=0/(n-1)となりnの値に関係なくf(An)=0となりますよね。　　　

でも、
f(An)=(n-1)An^2+2An-n　と表して、ｎ→∞とするとAn＝１になるので、
f(An)=(n-1)*1+2*1-n＝１となってしまいませんか？？

f(x)をｎで表したときはどんなｎでも０なのに、Ａｎで表したときの極限が１になってしまうのはおかしくないですか？？

No.5 ベストアンサー 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/10/06 12:01

∞は、代数的な意味のある記号ではありません。

また、「最大の数」が存在しないから、∞という考えが成り立つので、もとより、∞は数ではありえません。

たとえば、aが代数的な意味のある記号なら、
a+a=2a　とか　a-a=0　のような計算ができるわけですが、
∞+∞=2∞　とか、　∞-∞=0　のような計算はできません。

∞は、いわば推論結果を表していますので、推論に疑問の余地のない式に変形して初めて、結果を示すことができます。

たとえば、lim[x→∞] (x^2+x)　なら、∞+∞の形なので疑問の余地なく、lim[x→∞] (x^2+x)=∞ですが、
lim[x→∞] (x^2-x)では、∞-∞の形ですので、この先の推論ができません。

それは、なぜかといいますと、
∞はとにかく「大きい」ということなので、掛け算、足し算のような数が増加する（ただし掛け算なら1より大きくなければなりませんが、無限大が１より大きいのは明らかなので）ような計算式であれば、疑問の余地なく、無限大であると結果を示せます。
しかし、引き算、割り算は、数が減少する式の形ですので、無限「大」という考え方とは、相性が悪いのです。

正しくは、lim[x→∞] (x^2-x)=lim[x→∞] {x^2(1-1/x)}=∞
として、∞×∞(×1)　の形に持っていって結論を出します。
ここで、注意しなければならないのは、∞×∞=∞　という代数的な意味での式が成り立っているわけではないということです。

下の補足に書き込まれている
{(∞-1)*1+2*1-∞
という式には、∞同士の引き算がありますので、推論はできないことになります。

No.7 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/10/07 21:36

#6です。

ごめんなさいね、訂正です。

＞　例えば、An=n^2, Bn=n^2のとき
大ボケ。例えば、An=n^2, Bn=nのとき・・・

と訂正。

No.6 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/10/06 20:21

#5さんがおっしゃるとおり、∞というのは（確定した）数ではないですね。

lim An=∞, lim Bn=∞という条件だけでは、lim (An-Bn)がどうなるかは分からないんです。質問者さんのアイディアだと、lim(An-Bn)=∞-∞=0ってことになるんだけど、∞どうしの大小関係は議論できない（分からない）。An,Bnを具体的に定めると、lim(An-Bn)=0になることも勿論有り得るけど、lim(An-Bn)=∞、－∞ということもアリだし、lim(An-Bn)=aというように定数に収束することも有り得る。このようなAn,Bnの例は極めて簡単にいくらでも思いつくでしょう。
例えば、An=n^2, Bn=n^2のとき、lim An=∞, lim Bn=∞とは書くものの、これは「nをでっかくしていくと、An（およびBn）はひたすらでっかくなるぜ」と言っているだけで、AnとBnが∞という同じ数値になると言っているわけではないんですね。明らかに、AnはBnよりもはるかに大きいのですから、lim An=∞, lim Bn=∞の２つの∞が同じ数値であるはずはありません。現に、lim (An-Bn) ＝ lim n(n-1) ＝ ∞ であって ∞-∞=0 とはなりません。

このように、∞というものを、あたかも数値であるかのように大小を比較したり演算することはできません。ただ、∞＋∞、∞×∞、∞+a などは#5さんがおっしゃるように容易に∞であることが言えるのでＯＫなんですが、∞-∞とか∞/∞、∞×0などは数式として成立しないのです。

また、これらのことからも、
lim(An±Bn) = (lim An) ± (lim Bn)
lim(An×Bn) = (lim An)×(lim Bn)
lim(An/Bn) = (lim An)/(lim Bn)
などの変形を安易に行ってはならないことが分かるでしょう。このような変形を行えるのは、An,Bnが共に収束する場合です。

ですから、今回の質問については、
lim f(An) = lim((n-1)*1+2*1-n) = (∞-1)*1+2*1-∞=1
のように、
・　収束しない各項の極限を別々に求めて∞を数値であるかのごとく演算し、
・　なおかつ、∞-∞=0としてしまった
というように、なかなか痛々しい過ちを犯してしまっています。

＞　f(An)=0/(n-1)となりnの値に関係なくf(An)=0となりますよね
というように、ｆ(An)をきちんと計算して、f(An)全体の極限を求めないとだめなんですね。

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/06 00:26

>>>とはならないんですか？

>>数式として成立していないことくらいは理解して欲しい。
>なぜ成立していないんでしょうか？

lim{(∞-1)*1+2*1-∞}=1
が成立していると！？ 何をどうやったら 1 になるのですか？

No.3 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/10/04 19:44

ｘが１に近づくとき、ｆ（ｘ）は１に近づきます。

ｘがAnに近づくとき、ｆ（ｘ）は０に近づきます。

式から、言えることは、まずこの二つですね。

ここで、Aｎが１に近づくときはどうなるか？　というのが質問の要点だと理解します。

グラフを使って、すこし考え方を変えてみましょう。
ｙ＝ｆ（ｘ）は、かならず（１，１）を通ります。また、判別式から、
かならず、ｘ軸と２点で交わります。そんな放物線のグラフが、どんどんカーブがきつくなっていったら、どうなるでしょうか？
ｘ軸との交点のｘ座標のひとつ（大きなほう）が、Anだというのは
ｆ（An）＝０からすぐわかると思います。このAnが、ｎ→∞のとき、
猛然とｘ＝１を目指して、動いていくのが想像できますでしょうか？
ｎ→∞のとき、ｘ軸との交点は（１，０）に近づき、しかも、このグラフは、いかなるｎに対しても、（１，１）を通ります。
したがって、その周りでは、ほとんどｘ＝１のグラフに近づいていきます。ここに混乱を起こす原因があるように思います。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/03 22:28

>とはならないんですか？

数式として成立していないことくらいは理解して欲しい。

この回答への補足

なぜ成立していないんでしょうか？

補足日時：2007/10/05 23:59

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/02 00:09

f(x) が n に依存しているので f_n(A_n) と表記するべきです。

そうすれば lim f(A_n) = f(lim A_n) となるだろうという勘違いから逃れることができます。

この回答への補足

おそくなってすいません。

lim f_n(A_n)=lim{(n-1)A_n^2+2A_n-n}=lim{(∞-1)*1+2*1-∞=1

とはならないんですか？

補足日時：2007/10/03 19:08