２の倍数または３の倍数である数列の一般項は?

自然数を考えます。
その中で、２の倍数は順に、
２，４，６，８，１０、…
となり、一般項は、
２ｎ
となります。
同様に、３の倍数は順に、
３，６，９，１２，１５、…
となり、一般項は、
３ｎ
となります。

ところで、それらの共通部分は、６の倍数であり、順に、
６，１２、１８，２４、…
となり、一般項は、
６ｎ
となります。

そして、考えたいのが、それらの和集合、つまり、２の倍数または３の倍数で、順に、
２，３，４，６，８，９、１０，１２、…
となる数列です。
その一般項はどう表されるのでしょか?

No.7 ベストアンサー 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/10/16 12:03

No.6ですが、補足しておきますと

オイラーの公式e^(iθ)＝cosθ＋isinθから、
sinθ＝1/(2i)×｛e^(iθ)－e^(-iθ）｝なので、

例えば、3n/2 +　0.5 * sin(πn/2)において、

sin(πn/2)＝1/(2i)×｛e^(nπi/2)－e^(-nπi/2）｝
＝1/(2i)×[｛e^(πi/2)｝^n－｛e^(-πi/2）｝^n]
＝1/(2i)×[｛cos(π/2)＋isin(π/2)｝^n－｛cos(－π/2)＋isin(－π/2)｝^n]
＝1/(2i)×｛i^n－(－i)^n｝
よって
3n/2 +　0.5 * sin(πn/2)＝3n/2 +　1/(4i)×｛i^n－(－i)^n｝

おそらく、複素数を用いた回答NO.2で求められる解と一致すると思いますよ。
回答No.2のように複素数を用いたほうが、一般解を求める際には強力です。

No.6 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/10/16 11:16

No5です。

すでに求められていたようですね。失礼しました。

2，5の倍数で同じようなことを考えると、
２，４，５，６，８，１０，１２…
ですが、
5n/3＋｛（3+(-1)^n）／3√3｝sin(nπ/3)
となりますかね？
もはやsinだけでは表せなくなっています。

また、奇数と奇数の組み合わせでやろうとすると、
周期が奇数個になるので、やはりsinだけではだめかなと思います。
複素数まで拡張すれば、何かうまいことがあるのかもしれませんが....

No.5 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/10/16 10:33

sinとか使っていいのであれば、

一般項は　1.5n＋0.5sin(nπ/2)
とかけます。
期待されていない答え方かもしれませんが、シンプルでしょう。

No.4 回答者： DONTARON 回答日時： 2007/10/14 19:09

ＮＯ３で回答したのですが、（３）の（４ｎ－１）は（４ｎ＋１）の間違いでした。

わかりくくてすみません。

No.3 回答者： DONTARON 回答日時： 2007/10/14 19:01

　こういう場合はいくつかの場合に分けるとわかりやすいと思います。

ただ昔やっていたことのうろ覚えで、正しいのかどうかはっきり自信はありません。
　（１）偶数番目は必ず３の倍数となっているのでｎが偶数の場合は　３(ｎ/２)
　（２）奇数番目の中でさらに（４ｎ-３）番目の場合は　１／２（３ｎ＋１）
　（３）奇数番目の中で（４ｎ－１）番目の場合は　１／２（３ｎ－１）
　何か変な場合分けになってしまったかもしれませんが、参考にしてください。

　

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/14 01:42

0.5 の前は「+」じゃなくて「-」ですけどね.

で残りの部分ですが, 以下のように無理すれば記述できます:
互いに素な a, b に対し, 最小公倍数は ab で「1～ab の中でどちらとも素であるもの」が (a-1)(b-1) 個だから, 「1～ab の中で a と b の少なくとも一方の倍数であるもの」は ab - (a-1)(b-1) = a+b-1 個あります. つまり, 求める数列を x(k), k = 1, 2, ... とおくと
x(k + a+b-1) = x(k) + ab
です.
で, ωを 1 の原始 (a+b-1)乗根とすると
Σ(k=0～a+b-2) (ω^k)^n
は n が a+b-1 の倍数のときのみ a+b-1 で, そうでなければ 0 となります.
ということは, まず
y(k) = abk / (a+b-1)
という数列を作っておいて, x(k) との差分 z(k) を ω で補正すればいいということになります.
例えば a = 2, b = 3 のときは ab = 6, a+b-1 = 4 なので
y(k) = 6k/4 = 3k/2, ω = i
となります. で, 補正項 z(k) は
z(k) = αi^(0k) + βi^(1k) + γi^(2k) + δi^(3k)
(当然ですが 0k = 0) に k = 1, 2, 3, 4 を代入して α, β, γ, δ を求めれば見付かります.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/13 23:42

3n/2 を考えると

1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12, ...
と近くなるので, 差分
-0.5, 0, 0.5, 0, -0.5, 0, 0.5, 0, ...
を補正すればいいということになります.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
-0.5, 0, 0.5, 0, -0.5, 0, 0.5, 0, ...
は0.5で割ると、
-1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, ...
となり、これは
-sin(πn/2)
となるので、結局、
3n/2 +　0.5 * sin(πn/2)
となるのでしょうか。

一般に互いに素なaとｂにおいて、aの倍数またはbの倍数である数列の一般項は、書き表すことが可能なのでしょうか?

お礼日時：2007/10/14 00:09