私立文系なのに、微分の問題を教えるなければならないので
困ってます。助けてください。。
X2”=Xの2乗のことです。入力できなかったのでわかりにくくてすみません。
lim X2”+ aX + b
x→1 ----------- = 5 が成り立つようなaとbの値を求めよ。
X2"-1
という問題なのですが、解答みてもよくわかりません。
分母と分子を別に考えるようなのですが、「この極限になるためには
分子は0に近づくしかない」とも書かれてあるのですが???です。
この問題でなくとも、微分の感覚をつかむためのアドバイスをいただけたら嬉しいです。わかりにくくて申し訳ないですがお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
極限の問題ですね。
極限とはある関数f(x)においてxをある数字に近づけたとき
どの値に行き着くか?ということを求めるものです。
たとえばy=2x/x(分母xで分子2x)という式があるとします。
この式はxで約分すれば2ですが、こういう式である以上、x=0のときは
定義できませんよね。だけど、xが0でなければy=2になりますし、
xを0にできるだけ近づけたら2になりそうというのは想像できますよね。
そういう感じでを与えられた式ではどうなるか?ということを求めることになります。
で、こういう極限を求めるとき、結果が定数のときというのは
不定形である可能性が高いです。
たとえばy=2/xにおいてxを0に正の方向から近づけた場合、素直にx=0を
代入すると2/0となり、yはひたすら大きくなりそうですよね。
つまり+∞に発散してしまうのです。
それに対して、先ほど出したy=2x/xにx=0を代入すると、0/0となります。
こういう場合を不定形といい、どこに行き着くかこれだけでは
判断できないということになります。
その例としてy=2x^2/x(分子は2xの2乗です)でもxを0に近づけた場合、
素直にx=0を代入すると0/0となります。でも、こちらはy=2x^2/x=2xなので、
xを0に近づけるとyは0に近づきます。
つまりともにxを0に近づけた場合、ともにx=0を代入すると0/0となるけれど、
片や2に近づき、片や0に近づくのです。
このようなものを不定形といいます。0/0以外の不定形の例は後で調べてください。
で、問題では分母にx=1を代入すると0になります。
そうすると、x=1に近づけると答えが発散ではなくある値が出ているということは、
0/0の不定形でなければならないわけです。0以外の値を持ってしまうと
プラスかマイナスの∞に発散してしまいますよね。
解説で言っていることはそういうことです。
後の計算はがんばってください。
No.4
- 回答日時:
最後の所が変になったので、訂正します。
x^2+ax+b (x―b)(x―1) x-b 1―b
lim ―――――― = lim ―――――― = lim ――――=―――=5
x→1 x^2-1 x→1 (x+1)(x-1) x→1 x+1 2
よって、1-b=2*5 より、b=-9、 また、(1)より、a=-(-9+1)=8 です。
No.3
- 回答日時:
回答はANo.1さんの答えで良いのですが、ちょっと補足しますと、
x^2+ax+b
lim ――――――=5 の場合、
x→1 x^2-1
x=1 を代入すると、分母が (1)^2-1=0、 分子が (1)^2+a(1)+b になり、
分子が 0 でないとき、分子/0=不能、で式が成立せず(分子≠0*ある値)だが、分子が 0 なら、0/0=不定、で式が成り立ち、(0=0*ある値)
よって、限りなく x を 0 に近づけたとき、分子が 0 になるようにすると、
x=1 のとき、分子が (1)^2+a(1)+b=1+a+b=0 より、
a=-(b+1) ・・(1)
ゆえに、分子を x^2-(b+1)x+b=x(x-1)-b(x-1)=(x―b)(x―1) として、
x^2+ax+b (x―b)(x―1) x-b 1―b
lim ―――――― = lim ――――――――― = lim ―――――=―――=5
x→1 x^2-1 x→1 (x+1)(x-1) x→1 x+1 2
よって、1-b=2*5 より、b=-9、 また、(1)より、a=-(-9+1)=8 です
No.1
- 回答日時:
Xの2乗は「X^2」と書くのが通例です。
分母をg(X),分子をf(X)とおくと
g(1)=0ですから、f(1)≠0とすると極限値は「定数/0」型となって∞または-∞に発散して5にはなりません。
したがって、f(1)=1+a+b=0…(1)
でなければならないといけません。
(1)からb=-1-a…(2)
したがって
f(X)=X^2+aX+b=X^2+aX-1-a=(X-1)(X+1+a)
このとき
lim[X→1] f(X)/g(X)=lim[X→1] (X+1+a)/(X+1)=(2+a)/2=5
2+a=10
∴a=8
(2)から
b=-9
(答) a=8,b=-9
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