三角関数について

三角関数についての質問です。
お手数ですが、力を貸していただけると幸いです。

A,B,C,D,E,Fを定数として、

Asin^2θ+Bsinθcosθ+Ccos^2θ+Dsinθ+Ecosθ+F=0

を、θについて解きたいのですが、どうやって解けば良いのか分かりません。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2007/11/08 05:44

x = cosθ

y = sinθ
と置き換えると質問の式は楕円の方程式になってます。で、
x^2+y^2=1
であるから、これは単位円。両方を満たす(x,y)、つまり、楕円と単位円の交点（最大4つある）が解です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ただ、楕円以外の可能性もあると思うので、色々考えてみます。

お礼日時：2007/11/08 22:18

No.2 回答者： tarame 回答日時： 2007/11/08 12:43

Ｄ＝Ｅ＝０ のときは

　sin^2θ＝(1-cos２θ)/2
　cos^2θ＝(1+cos２θ)/2
　sinθcosθ＝(sin２θ)/2 と置き換えて、合成する。

Ｄ×Ｅ≠０，Ｂ＝2E/D，Ｃ＝(E/D)^2 のときは
　ｔ＝sinθ＋(E/D)cosθ と置き換えて(合成し）
　ｔの２次方程式を解く。

係数によって、解法が異なるので、
一般的にはどのように解けばいいのだろうか？

この回答へのお礼

お答えありがとうございます。
ただ、その一般的な解を求めております。

お礼日時：2007/11/08 22:18

No.3 回答者： azs 回答日時： 2007/11/08 20:39

一般には難題です。

そこらへんの問題でしたら因数分解できるのではないでしょうか？きっとそうだと思いますが・・(笑)
＞１　楕円とは限りませんよ。

この回答への補足

すいません、因数分解は出来ませんでした。
A,B,C,D,E,Fは全て、毎回変わるので、一般的な解が必要なのですが……。

補足日時：2007/11/08 22:19

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2007/11/09 01:54

> 楕円とは

さよう。楕円じゃなくて、一般には二次曲線っすね。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2007/11/09 03:49

　えっとね、問題としては簡単なんです。

結果はひとつの式で表せます。ただ、結果は手では書く気がしないような、ひどく長ったらしい式になるんですよ。（なので、もしも数値計算が目的であったとすれば、ひとつの式にまとめあげようとせずに、段階を追って計算して行く方が現実的です。）
　以下、手順を説明します。

[1] cosθ, sinθをx,yに置き換えます。
Ay^2+Bxy+Cx^2+Dy+Ex+F=0　　…(1)
この２次曲線と単位円との交点を求めています。
[2] ところで単位円は原点の周りで回転しても変化しません。そこで、図形を原点を中心にαだけ回転する。すなわち
x=x'cosα-y'sinα
y=x'sinα+y'cosα　　…(2)
を(1)に代入し、展開して整理します。そして、(x'y')の項の係数が0になるようにαを決めてやるんです。（α=(1/2)Arctan(B/(C-A)) になると思いますけど。）
かくて、
ay'^2+bx'^2+dy'+ex'+f=0　　…(3)
という２次曲線と単位円との交点を見つける問題に帰着しました。（a,b,d,e,fは展開して整理した結果得られる定数です。どんな式になるかは、ご自分で。）
[3]交点は単位円上の点である、という条件を表す
y'^2 = 1-x'^2　　…(4)
を(y'^2)のところに代入し
(b-a)x'^2+ex'+a+f=-dy'
両辺を2乗して
((b-a)x'^2+ex'+a+f)^2=(d^2)(1-x'^2)　　…(5)
これでx'に関する4次方程式に帰着しました。
[4] ４次方程式の解は「フェラリの公式」によって、一応、式で表す事ができます。ですが、実は私、この公式をまともに適用した例を見た事がない。とんでもなく長ったらしい式になっちゃうのでね。だから「一応」なんです。
　実際の応用に於いてA～Fが数値で与えられる場合には、(5)は（フェラリの公式を使わずに）反復近似による数値計算で解くのが普通でしょう。あるいは、A～F同士の間に何らかの関係があれば、(5)はさらに簡単な形にできるかも知れません。（例えばe=0とかa=bになってくれれば２次方程式に帰着します。）
　どんな手段であれ、ともあれ(5)を解けば、x'の4つの解が得られます。でも複素数解は要りませんので、実数解だけを取り出します。
[5] 実数解のひとつx'が分かれば対応するy'も(4)から分かります(y'が二つ出て来るから、どっちが本物か検証が必要ですが）。こうして0～4組得られる(x',y')が二次曲線と単位円の交点（もしくは接点）を表している。
[6]さて、[2]で回転したのを元に戻さなくちゃいけませんね。このために、得られた(x',y')を(2)に代入して(x,y)を計算します。
[7] 最後に、x=cosθ（あるいは y=sinθ)を使ってθを計算する。

という手順です。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2007/11/09 04:06

　ANo.5を書き込んでから、ANo.2, ANo.3に付けられたコメントを見ましたんで、追記します。

　「一般的な解」と仰るのが「解を式で表したものでなくちゃ駄目」という意味であれば、ANo.5で言う「ひどく長ったらしい式」がそれです。
　一方、単に具体的に与えたA～Fの数値からθの数値を計算したいのであれば、簡単な数値計算法がいくらもあります。ANo.5のようにして４次方程式に帰着しておけば、適当な数値計算ライブラリを利用して高次多項式の実数解を計算することができますし、自分でプログラミングするのならもっと単純明快な方法が使えます。