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四面体ABCDがある。 AB=BC=3 BD=1 AD=2√2 AC=2√5 CD=2√3 である時、四面体ABCDの体積Vを求めよ。

体積(V)=底面積×高さ×1/3 
「高さ」を求められず、この式が使えません。

解答では、「△BCDを底面とすると、ADが高さになる。」…とありますが、底面△BCDから頂点に伸びる線は3本あり(AD、AC、AB)、なぜ、ADが「高さ」になるのか、わかりません。

正四面体であれば答えられるのですが、この問題は考えてもまったく分かりませんでした。

教えてください。よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

△DABと△DACとでピタゴラスの定理が成立します。


AB^2=DA^2+DB^2
AC^2=DC^2+AD^2
したがって
∠ADC=∠ADB=∠R (直角)
△BCDの平面上の交差する直線DBと直線DCに直線(線分)ADは直角だから、
点Dは頂点Aから底面BCDに下した垂線の足といえるわけです。
つまり底面BCD、頂点Aの四面体の高さがADの長さになるということです。
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この回答へのお礼

詳しい説明を有難うございました。図を書いてみるととても90度には見えない図で、直角だと気づきませんでした。きちんと計算して求めることが大切だと感じました。有難うございました。

お礼日時:2007/11/08 21:03

AB=3, BD=1, DA=2√2


AB^2=BD^2+DA^2
∠ADB=90°・・・(1)

AC=2√5, CD=2√3, DA=2√2
AC^2=CD^2+DA^2
∠ADC=90°・・・(2)

(1),(2)より
ADは△BCDに垂直
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この回答へのお礼

丁寧にご回答下さり有難うございました。本当に感謝しています。
きちんと計算すれば気づくはずなのに、図の見かけで判断してしまいました。今後はきちんと求めるように頑張ります。本当に有難うございました。

お礼日時:2007/11/08 21:28

△ACD と △ABD は、ともに直角三角形です。


だから辺ADは平面CBDと垂直です
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この回答へのお礼

回答を下さり本当に有難うございました。以前にもお答え頂いたと思いますが本当に感謝しています。有難うございました。

お礼日時:2007/11/08 21:00

BD^2+AD^2=1+8=9=AB^2


CD^2+AD^2=12+8=20=AC^2
なので、三平方の定理の逆が成り立って
∠BDA=∠CDA=90°
よって△BCD⊥ADです。
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この回答へのお礼

お忙しい中、すぐに回答を下さり本当に有難うございました。とても嬉しかったです。頑張ります。

お礼日時:2007/11/08 20:58

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