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こんにちは。
対数螺旋について調べているのですが、対数螺旋の曲座標の方程式はよく出てくるのですが、X-Y座標の方程式はあまりでてきません。X-Y座標の方程式というのはないのでしょうか?あるのなら、その方程式の意味まで教えていただけると助かります。
またExcelを使って対数螺旋を書くやり方があれば、教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

ANo.2 です。


訂正します。
【誤】 x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = c --- (1)
【正】 x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = ( a^θ )*sinθ --- (1)
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対数螺旋とは、極座標表示で以下のものでしょうか。


   r = a^θ ( a > 1 )
これを xy 座標に変換するには
   x = r*cosθ、y = r*sinθ
という関係を使えば
   x = r*cosθ = ( a^θ )*cosθ 、y = r*sinθ = c --- (1)
なので、a と θ の値を与えれば、x と y の値が計算できます(Excel でグラフを描くことができます)。ただし θ の単位は、度でなく ラジアン(180度 = πラジアン)です。

例えば、N回転分の対数螺旋を描くのであれば、θ の範囲は 0 ~ 2*π*N なので、まず、この範囲の数値を、Excel の A0から下に順次書き込みます(0、0.1、0.2 というように 0.1刻みで2*π*N までオートフィリングで書き込む)。a の値を仮に 1.1 とすれば、B0に =1.1^A0*cos(A0)、C0に = 1.1^A0*sin(A0) と書いて、これらを下の行全部にコピーすれば、B列が x 座標、C列が y 座標になります。この後、B列とC列を選択してグラフ(散布図)を描けば、対数螺旋のグラフとなります。

対数螺旋を、あえて x、y で表せば、式(1)から
  tanθ = y/x、x^2 + y^2 = a^θ
なので
  x^2 + y^2 = a^arctan(y/x)
という表し方になります( arctan は tan の逆関数) 。でもこれは y = という形にはできないので、対数螺旋のグラフを描くには、式(1)のように、θ を媒介変数として、x = f(θ) = ( a^θ )*cosθ、y = g(θ) = ( a^θ )*cosθ として、x と y の値を使ってグラフを描くのが普通だと思います。
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歯車の理論で、直交座標、極座標の他に、接線座標があり、接線座標は、曲線 C を表すのに、極 O と曲線上の任意の点 P を結んだ線分 OP=r(>0)を動径とし、点 P における曲線の接線 PT と動径のなす角 Φ を用いて、曲線 C の方程式を



 r=f(Φ)

で表したとき、(r,Φ)を点 P の接線座標と名づけ、動径 r と接線のなす角 Φ が常に一定であるような曲線はいわゆる「対数らせん」であるから、接線座標による対数らせんの方程式は、

 Φ=n (n:一定) ・・・(1)

と云う簡単な形で表され、この方程式を直交座標および極座標で書くと、

点 P は、直交座標で(x,y)、極座標で(r,θ)、接線座標では(r,Φ)で表され、点 P における曲線の接線がx 軸の正の方向となす角を α とすれば、

 Φ=α-θ で、よって、

 tanΦ=tan(α-θ)=(tanα-tanθ)/(1+tanα*tanθ)、 なお、tanα=dy/dx、
 tanθ=y/x であるから、

 tanΦ=(xdy-ydx)/(xdx+ydy)

また、対数らせんは、式(1)で表されるから、

 tanΦ=tann=1/m (m:定数)、よって、

 (xdy-ydx)/(xdx+ydy)=1/m、 これから、

 dy/dx=(x+my)/(mx-y)={1+m(y/x)}/{m-(y/x)}

上式は、一階微分方程式の同次形で、これを解くと、

 logx=m*tan^-1(y/x)-log(1+y^2/x^2)^(1/2)+logC

 ∴ √(x^2+y^2)=e^(logC)*e^{m*tan-1(y/x)}

ここで、e^(logC)=C であるから、求める直交座標による対数らせんの方程式は、

 √(x^2+y^2)=C*e^{m*tan-1(y/x)}

つぎに極座標による方程式は、√(x^2+y^2)=す、 y/x=tanθ であるから、

 r=C*e^(mθ)

で与えられ、普通、対数らせんはこの形で表しています。
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エクセルできれいな渦巻きを作る方法はないでしょうか??キテレツ大百科のべんぞうさんのめがねみたいなのが、いいのですが・・・無理でしょうか??わかる方がいましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

#1さんの「アルキメデスの螺旋」では、思ったものは見つかりませんでしたね。「螺旋 VBA」と、インターネット検索してみて、ヒットした以下にあったものを、加工してみました。

http://backno.mag2.com/reader/BackBody?id=200311201630000000119526000

なお、細かな設定については割愛しますが、<標準モジュール>に設定しておけば間違いないはずです。


Sub Archimedean_Spiral()
 Const Pi = 3.1415
 Const X = 200 '螺旋の位置 X
 Const Y = 200 '螺旋の位置 Y
 Const R = 15 '15が最低値 巻きの大きさに関係
 Const IncNum = 0.1 '巻きの大きさに関係
 Dim Spiral As Shape
 Dim Ratio As Single
 Dim i As Long
 With ActiveSheet.Shapes
  With .BuildFreeform(msoEditingAuto, X, Y + R)
   Ratio = 1
   For i = 30 To 360 * 5 Step 30
    .AddNodes msoSegmentCurve, msoEditingAuto, _
      X + Sin(i * Pi / 180) * R * Ratio, _
      Y + Cos(i * Pi / 180) * R * Ratio
    Ratio = Ratio + IncNum
   Next
   Set Spiral = .ConvertToShape
     With Spiral
        .Line.Weight = 2#  '2以下にすると消えることがある。
        .Line.ForeColor.RGB = RGB(255, 0, 0) '色は赤
     End With
  End With
 End With
End Sub

#1さんの「アルキメデスの螺旋」では、思ったものは見つかりませんでしたね。「螺旋 VBA」と、インターネット検索してみて、ヒットした以下にあったものを、加工してみました。

http://backno.mag2.com/reader/BackBody?id=200311201630000000119526000

なお、細かな設定については割愛しますが、<標準モジュール>に設定しておけば間違いないはずです。


Sub Archimedean_Spiral()
 Const Pi = 3.1415
 Const X = 200 '螺旋の位置 X
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Q等角螺旋(らせん)の3次元的な数式表現

等角螺旋(らせん)の数式表現について教えてください

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このとき、螺旋上の点(x,y)は
x = r*cosθ
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とあらわせると思うのですが、
これを3次元空間内で表現する方法がよくわかりません

ご教授いただければ幸いです
よろしくお願いします

Aベストアンサー

「螺旋」には、大別して2種類あります。2次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、3次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻,ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを2次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

 spirialが等角であるということを2次元極座標(r,θ)で書けば、
dr/dθ= aθ
つまり、仰る通り
r(θ) = exp(aθ)
です。(aは巻きの強さを変える係数です。)
 これを、例えばタニシやでんでん虫やツノの形に立体化するにはどうするか。
 まずは、円筒座標(r,θ,z)を考えると便利そうです。(3次元の極座標じゃだめです。)z軸の方向が螺旋の「軸」になるわけですね。直交座標(x,y,z)に直すにはもちろん、
x = r cosθ
y = r sinθ
とすれば良い。
 さて、θを決めて断面を考える(つまりz軸を含む平面でタニシを切る)と、タニシの「身」が入ってる部分の断面がいっぱい現れますが、どれも相似形をしているでしょう。すると、タニシの「身」が入ってる部分の断面のr方向の寸法は、helixを一周したときのrの増分
r(θ+2π) - r(θ)
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タニシの「身」が入ってる部分の断面のz方向の寸法のぶんだけz軸方向にずれていなくてはいけません。ですから、
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 もちろん、これだけではタニシの「身」が入ってる部分の「中心線」になっているhelixを描いただけですから、この周りにカラを作ってやらなくちゃいけません。
 ここまでのr, zはhelix上の点の座標の意味でしたが、ここからはカラの表面上の点、という意味で使います。

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r=f(t)
z=g(t)
で与えたとします。(例えば円形にするならf(t)= A cos t + 1, g(t)=A sin t + b、ここにAは半径。1とbが出て来たのは、helix上の点(1,0,b)を中心とする円にしたからです。)そうすると、角度θにおける断面形状のサイズはexp(aθ)に比例しているわけだから、媒介変数tとθを使って、
r(θ,t)= f(t)exp(aθ)
z(θ,t) = b g(t)exp(aθ)
と表せます。
 カラの断面の大きさを小さくすれば角のようになるし、大きくすればタニシになる。b=0ならアンモン貝の形です。aを小さくするとぐるぐる巻きに、大きくすると鳥の爪のように、と言う風に、いろんな形が作れますね。

「螺旋」には、大別して2種類あります。2次元平面曲線の渦巻き模様であるspiralと、3次元空間曲線であってねじ山のようなhelixです。等角螺旋はspiralの方。描きたいと仰っているのはどうもhelixの方ですから、話が食い違っています。よく「等角らせんは、オウム貝やかたつむり などの殻,ヤギの角などの形」と説明されるのは、モノを2次元図形と見たときの大雑把な話ですから、そのまんま真に受けちゃいけません。

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QAutoCADで渦巻きを描く方法

AutoCAD LTで2Dの渦巻き(左回転でだんだん半径が小さくなっている)を描くにはどうやればいいのでしょうか・・・

Aベストアンサー

以前にも同様の質問にお答えしたことがありますので、
そのときの私の回答を以下にコピーします。


いくつか方法があります。

───────────────────────────

一つ目は定規とコンパスを使って描くのと
同じ方法で作図するやりかた。

まず好みの直径の半円を描き、その端点から連続して
もっと直径の大きい半円を描き、また同じだけ直径の
大きい半円を描き・・・、と繰り返していきます。
ある半円と次の半円の半径の差を常に同じにするパターンと、
半径の差自体をだんだん等比的に大きくしていくパターンとが
あります。

───────────────────────────

二つ目はポリラインを使うやりかた。

一つ目と同じ作成手順ですが、ポリラインコマンドを
円弧入力状態にして、連続的にポイントを選択します。

スナップモードをONにしておくと簡単・正確に
ポイントを入力できます。

───────────────────────────

三つ目もポリラインを使うやりかた。

下記のような図形をポリラインで入力します。
(これもスナップモードをONにすると楽。)

   ┌──────
   │┌────┐
   ││┌──┐│
   │││┌┐││
   ││└─┘││
   │└───┘│
   └─────┘

しかるのち、ポリライン編集コマンド(PEDIT)を
使ってこの図形を選択し、曲線に変換すると、渦巻きに
なります。
曲線は2種類あるので、試してみて、好みの方を
選ぶといいでしょう。

────────────────────────────

他にも方法があると思いますが、とりあえず、こんなところで
どうでしょう。

以前にも同様の質問にお答えしたことがありますので、
そのときの私の回答を以下にコピーします。


いくつか方法があります。

───────────────────────────

一つ目は定規とコンパスを使って描くのと
同じ方法で作図するやりかた。

まず好みの直径の半円を描き、その端点から連続して
もっと直径の大きい半円を描き、また同じだけ直径の
大きい半円を描き・・・、と繰り返していきます。
ある半円と次の半円の半径の差を常に同じにするパターンと、
半径の差自体をだんだん等比的に大き...続きを読む

Qエクセルで渦巻きが描きたい

表題のとおりですが教えてgoo内を検索していました所ほぼ同じような内容を見つけました。目標としては七つの層になっているシートをぐるぐると丸めていった時の図形を描きたいので、回答にもあったアルキメデスの螺旋(r=aθ)のaの値を1から7としてやればいいのかな?と考えているのですが、θをエクセル上でどのように表現したらよいのかがわかりません。ご指導ください。よろしくお願いします。

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Qオートシェイプでうずまきを描くには?

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ExcelでA列連番、B列角度、C列-X、D列-Y
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D2セル =$A2*SIN($B2/180*PI())
下へオートフィル

C,D列のみ範囲選択してグラフウィザード
データポイントを平滑線でつないだマーカーなしの散布図
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プロットエリアの背景をクリア

グラフをコピーしてPowerPointに貼り付け
参考まで

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半径rの円筒に巻きつけた糸をもどしながらできる螺旋上のある点から別の点までの周長の算出方法を知りたいのですが、どなたかご教示ください。なお、当方、高校程度の数学しか知識がありません。できるだけ、やさしくおねがいしたいのですが。

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No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
この種の積分は一般に楕円積分と呼ばれる積分の組み合わせで表現されます.

ちょいと数値積分をしてみました.
α=π/2  s = 2.26449
α=π   s = 6.54664
α=2π   s = 22.0094
です.円の半径を1としてあります.
半径 a なら,上の数値を a 倍して下さい.

今の螺旋はアルキメデスの螺旋とは違います.
アルキメデスの螺旋は
(2)  r = bθ
であらわされます.
LP レコードの溝がほぼアルキメデスの螺旋になっています.

他に,対数螺旋(ベルヌーイ螺旋)
(3)  r = e^(cθ)
や,双曲線螺旋
(4)  r = d/θ
があります.

No.2 の mame594 さんが正しい答を出しておられると思います.

これはいわゆる伸開線(インボリュート,involute)と呼ばれる問題です.
糸を巻き付ける図形は円
(質問文では円筒になっていますが,2次元平面で考えればよいので円で十分です)
だけでなくて,いろいろな図形が可能です.

さて,mame594 さんの長さの式
(1)  s = ∫[0→α] {(1+3θ^2+θ^4) / (1+θ^2)}^(1/2)} dθ
は正しい式(私も同じ答になりました)と思いますが,
積分結果は初等関数の組み合わせでは表せません.
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Q螺旋の線の作図について

つるまきばね((円筒に紐を巻きつけたような形状で、Z方向から見た形状は真円(XY平面に投影すると真円になる)、側面から見ると三次元曲線))のような螺旋の線を3次元CADで0から作図する場合、どのような手順で描けばよいのでしょうか。

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※丁度ばねを伸ばした状態に似た3次元線です。(しかしZ方向から見れば真円)

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3DCADは持ってないのですが、考え方として
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渦巻きの数式を教えてください。basicで描画命令psetで描きたいのですが、以前教えてもらったことがあるのですが、不明となっていまいました。理系の方よろしくお願いします。

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カトリセンコてのは、二つの螺旋が組み合わさった形をしてますね。その形を描くのでしたら、以下のようにすると宜しいかと。

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Qインボリュート曲線の式

インボリュート曲線の式が
x=a(cosθ+θsinθ)
y=a(sinθ-θcosθ)
とどのようにして導けるのか教えてください。

Aベストアンサー

インボリュート(伸開線)
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円周上の点P(acosθ,asinθ)を取る。
円の中心をOとして、円周とOx軸との交点Aからこの糸をほぐしていくものとする。
このとき、ほぐしていく点Q(x,y)の座標は角POA=θとすれば、PQ=弧PAとなる。弧PA=aθだから
x=acosθ+aθ・sinθ=a(cosθ+θsinθ)
y=asinθ-aθ・cosθ=a(sinθ-θcosθ)
で表される


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