楕円の回転体の体積を求める問題なんですけど、、

「楕円：Ｘの二乗＋１/２（Ｙ－１）の二乗＝１
　の内部で、Ｙが０以上にある部分をＸ軸の周りに回転して得られる立体の体積　　を求めよ」

という積分により体積を求める問題です。
スタンダードという解説が非常に不親切な問題集に載っているもので、また、
積分の計算過程などもよく分かりません。
よろしくおねがいします。

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/09/04 03:00

楕円　x^2+(1/2)(y-1)^2=1

はx=cosθ, y=1+(√2)sinθ
とパラメーター表示できて, 考えている立体はy軸対称より, x≧0に注目するとθ=-π/4 から θ=π/2 までの部分に対応する.

求める体積をVとしてy軸対称性も考慮して
V/(2π)=∫_(θ=π/2 to θ=0)y^2dx - ∫_(θ=-π/4 to θ=0)y^2dx
=∫_(θ=π/2 to θ=0)y^2dx + ∫_(θ=0 to θ=-π/4)y^2dx
=∫_(θ=π/2 to θ=-π/4)y^2dx ・・・(1)

大学なら, いきなり(1)からで良さそうですが, そうでなければ一応示しておく方が無難かも.
(1)=∫_(π/2 to -π/4)y^2(dx/dθ)dθ
=∫_(π/2 to -π/4){1+(√2)sinθ}^2(-sinθ)dθ

あとはお好きなように積分. 半角公式は使うとしても, 3倍角よりはsin^3θ=(1-cos^2θ)sinθ でしょうね.　
(注)cos^3θ＝(cosθ)^3　などです．

問題の取り違いや計算式の詳細については責任は持ちませんので悪しからず．

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2002/09/04 18:37

あの・・・ｙ軸対称の半分の範囲だけしか積分してないので

「2倍」が必要ではないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/09/05 00:32

[＃１の補足]

計算の都合上
V/(2π)=・・・=∫_(θ=π/2 to θ=-π/4)y^2dx ・・・(1)
(1)=・・・=∫_(π/2 to -π/4){1+(√2)sinθ}^2(-sinθ)dθ [・・・(2)とします]

ともってきていますので, 求めるVは(2)を計算したあとで, 分母2πを払ったもので合うはずです．[立式等が誤っていなければ．]
Ｖ＝２π×[(2)式の値]

答えるときはご注意ください．でも実際の計算の上では(好みはありますが)有力な方法です．

この回答へのお礼

本当にすぐに回答していただきありがとうございました。
わたしは高校生なのですが、学校祭が近いためその準備に追われ、お礼をするのを忘れてしまいました。言い訳です（＾＾；
またわからないことがあったら質問させていただくかもしれません。
その時はまた、よろしくお願いします。
sicoty

お礼日時：2002/09/07 23:10