3次元の回転を表すR1,R2があったとき、両者がどの程度「似ているか・近いか」
を表す指標で何かよいものはありますでしょうか?
R1=R2のときに最も「似ている」となる指標です。
(回転の表現は回転行列、四元数など何でも構いません。)
具体的には、ある計算に基づいて3次元の回転量補正量(四元数で表現しています)
を求めているのですが、計算過程のパラメータが時々刻々と変化する誤差を含んで
いるため、計算するたびに異なる結果が出てしまいます。
大半はだいたい「似ている」回転であるようなのですが、たまに大きくズレたものが
出ているようなので、ある評価基準で3次元回転の「似ている・似ていない」
を決めたいと考えています。たとえば四元数の場合だと回転の軸と回転量で
表現されるので、単純にそれぞれ比較・・・というのはちょっと違う気がしています。
よろしくおねがいいたします。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
お気づきの通り、二つの回転行列P,Qに対して
d(P,Q) := √( ∫|Px - Qx|^2 dS ),
ただしx∈単位球面、dS は面素、
とすると d は距離になります。この面積分を、教科書の公式
∫ F(x, y, z) dS (←(x, y, z) は単位球面上を動く)
= ∫_[0,π]dθ ∫_[0,2π]dφ ( F(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ) sinθ ) (重積分)
で実際に計算すると、(過程は省略しますが)結局次の式が得られます:
|d(P, Q)|^2 = (4π/3) Σ_{i,j=1}^{3} ( | P_ij - Q_ij |^2 ),
ただしP_ij, Q_ij は行列P,Q の成分を表すものとします。
ここで面白いのは、行列(P-Q)の自乗ノルムが上式右辺に出て来ることと、a=(1, 0, 0), b=(0, 1, 0), c=(0, 0, 1)に対して、
|d(P, Q)|^2 = (4π/3) { |Pa - Qa| + |Pb - Qb| + |Pc - Qc| }
と書けてしまうことです。
ご回答ありがとうございます.
なるほど、比例定数の(4π/3)を除いて考えると
単純な回転行列の自乗ノルムになるということですね。
なんとも衝撃的な(当たり前ですか??)結果です。
P,Qによって移された点間の距離を直線で測っている
問題はありますが、距離の要件は満たしているので
これで十分実用になりそうです。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
私も、もろ参考ですが…
半径1の球面上に、できるだけ分散させて、n = 100個ほどの点をとり、
それを (x1,y1,z1),…,(xn,yn,zn) とおきます。
そして、(xk,yk,zk) を R1 で回転させた点を (xk1,yk1,zk1) とします。
同様に、(xk,yk,zk) を R2 で回転させた点を (xk2,yk2,zk2) とします。
そして、
V = Σ[k=1~n] { (xk1 - xk2)^2 + (yk1 - yk2)^2 + (zk1 - zk2)^2 }
を、似ているかどうかの指標にするのはいかがでしょうか。
原理は簡単ですが、難点は計算量が多くなることです。
ご回答ありがとうございます。
実は私も質問させていただいた後いろいろ考えまして、
ほとんど同じようなアイディア
d(R1,R2) := (∫|R1x - R2x|^2 dx)^(1/2)
但し積分の範囲→ x∈単位球面
が良いのではないかと思っていました。
球面に沿って回転した点間の距離を直線で測ることになりますが、
d(R1,R2) >= 0
d(R1,R2) = 0 when R1=R2
d(R1,R2) = d(R2,R1)
d(P,R) <= d(P,Q)+d(Q,R)
を満たすので、距離としての性質は悪くなさそうです。
もう少し考えてみたいと思います。
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