lim(n→∞)sinnπ=0
sinnπがsinnπ=0になるのはどうしてでしょうか?
似たような問題で
lim(n→∞)tannπ=0
tannπがtannπ=0になるのも分かりません。
また
cosnπ=(-1)^nもです。
上の問題の発展(?)した問題の解説もお願いします。
lim(n→∞){(1/n)cosnπ/4}
の問題の解説で
-1≦cosnπ/4≦1
となっているのですが、どこから1と-1が出てきたのかが分かりません。
cos45°関係しているのでしょうか?
sinやcosやtanが出てくると全然分からなくなってしまいます。
なにか問題を解く上でコツがあれば教えてください。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
(一般角θという意味での)実数θに対する三角関数の定義は,いろいろありますが,初等的な段階で是非覚えておくと良いものは,次のものです.
(ここでは,厳密な定義はしませんので,必要に応じて確かめておいて下さい.)
”単位円 x^2+y^2=1 上の点(x,y)=(cosθ,sinθ) [θは一般角の1つ]".
(一般角の測り方は良いでしょうね.)
つまり,平たく言えば,『単位円上の点のx座標がcosθ,y座標がsinθ』と覚えておけば,間に合います,ついでに言えば, tanθ=sinθ/cosθ を定義式と思っておけば,cosθ≠0の時(θ≠(n+1/2)π,nは整数)のみ,tanθは定義されることも覚えられます.[うるさく言えば順序が逆かも知れませんが,ここでは目をつぶることにします.]
すると,x^2+y^2=1 より,[cos^2θ +sin^2θ=1 のこと] (←cos^2θ=(cosθ)^2 などです)
常に -1≦cosθ≦1,-1≦sinθ≦1
などは当たり前です.
また,一般には,#3でroro02さんのアドバイスが述べられていて,重なるところもありますが,関数のグラフを大まかに書いて(証明でないので,”犯人”がどう動くか分かる程度でよい),結果の見当(目星)をつけてから,具体的にそれを示す方法を考えるということが多くなります.
例えば,実は発散するのに,収束することを示そうとしても,無意味ですね.
つまり,(およその)結果が先に分かっていないとマズイわけです.
先の例で言えば,どうcosnπ/4が暴れても,せいぜい-1≦cosnπ/4≦1の範囲であって,(1/n)を掛けて[つまりnで割って] n→∞ とすれば,0に収束...というシナリオです(はさみうちの原理でした).
No.4
- 回答日時:
直角三角形ABC(∠BCA=90°)において、
sin∠ABC=CA/AB, cos∠ABC=BC/AB, tan∠ABC=CA/BC
です。
任意の整数nに対して、
sin(nπ)=0
ですから、
lim[n→∞]sin(nπ)=0.
任意の整数nに対して、
tan(nπ)=sin(nπ)/cos(nπ)=0/(-1)^n=0
ですから、
lim[n→∞]tan(nπ)=0.
また、
sin(π/2)=1,sin(2π/2)=0,sin(3π/2)=-1,sin(4π/2)=0,…
ですから、
lim[n→∞]sin(nπ/2)
は、発散、あるいは、振動します。
No.3
- 回答日時:
追加です。
θがどんな値であっても
-1≦sinθ≦1
-1≦cosθ≦1
となります。この問題の場合でも45°とは関係ありません。
tanの場合はθに適当な範囲を与えてやると(正確には-π/2<θ<π/2でよい)tanθは全ての実数を取りえます。
一度グラフを眺めてみてください。
問題を解くコツですが、とにかく基本に忠実に!です。
定義や公式がたくさん出てきて分からない人にとっては辛い分野なのですが、慣れてしまえば点を稼げる分野です。一つずつ公式を理解していき、者にしてしまいましょう。がんばってください。
No.2
- 回答日時:
nが整数ならば、
sin(nπ)=0
です。実際、
sin(π)=sin(2π)=sin(3π)=sin(4π)=…=0
です。tanについては、
tan(nπ)=sin(nπ)/cos(nπ)
ですから、
tan(nπ)=0
です。よって、
lim[n→∞]sin(nπ)=0
lim[n→∞]tan(nπ)=0
です。cosについては、
cos(π)=-1,cos(2π)=1,cos(3π)=-1,cos(4π)=1,…
ですから、
cos(nπ)=(-1)^n
です。
-1≦cosx≦1
-1≦sinx≦1
は、xの範囲によらず、成り立ちます。よって、
-1≦cos(nπ/4)≦1
です。
まず、基本をしっかり押さえましょう。sin,cos,tanの定義は、分かりますか?
この回答への補足
早速の回答ありがとうございます。
sin(nπ)=0
sin(180°)n=sin(0)n
より
lim(n→∞)sin(0)n=0
て感じでよいのでしょうか?
sin{n(π/2)}の時は
sin(90°)n=sin(1)n=∞
こんな感じでしょうか?
cos(π)=-1
cos(180°)=-1
cos(2π)=1
cos(360°,0°)=1
これより
tan(nπ)=sin(nπ)/cos(nπ)は
0/(-1)^n=0
でいいのでしょうか?
>sin,cos,tanの定義は、分かりますか?
正直言って分かりません。
ご教授よろしくお願いします。
補足がわかりにくくてごめんなさい。
No.1
- 回答日時:
三角関数のごくごく基本です。
当然の前提としてnを自然数とします。
sinπ=0は分かりますか? sin2π=0は大丈夫ですか?
三角関数は周期2πですから、sinnπ=0です。
tan、cosについても同様です。
>-1≦cosnπ/4≦1
>となっているのですが、どこから1と-1が出てきたのかが分かりません。
三角関数の定義です。
三角関数の定義・・・直角三角形の2辺の比
cosの場合分母を斜辺にしていますから、絶対値が1を超えないのは当然です。
その他、三角関数表や三角関数のグラフを眺めてみてください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 写真の(3)の問題の解説の1行目についてですが、 ①なぜ、曲線Kの囲む図形は、cos(-θ)と表せる 5 2023/01/26 00:36
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 数3の極限の問題です。 ①lim(x→1) 2/(x-1)^2 ②lim(x→2) 3/x^2-3x 2 2022/11/30 10:26
- 数学 複素数についての質問です。 1+iの主値を求める問題で回答が以下のようになっていました。 1+i = 5 2022/07/22 04:04
- 数学 高校生です。 この問題の解説がなくてこの解き方で合っているでしょうか? g(x,y)=0のとき x^ 2 2023/01/25 17:28
- 数学 cos^2(x+π/4)=Σ(n=-∞から∞)Cn・e^(inx)が全てのxに対して成り立つように定 1 2023/02/06 18:17
- 数学 数学Ⅲの関数の極限、関数の連続・不連続に関しての質問でございます。 問題集には、次の関数の〔 〕内の 5 2022/05/19 10:43
- 数学 極座標A(2,π/6)となる点を通り、OAに垂直な直線lの曲方程式を求めよ という問題を直交座標を利 1 2022/08/04 17:31
- 物理学 分布定数回路の問題について 1 2022/06/12 11:36
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
sin(ωt+θ) のラプラス変換
-
e^iθの大きさ
-
教えてください!!
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
sin2xの微分について
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
式の導出過程を
-
三角関数
-
sinθ+cosθ=1/3のとき、次の式の...
-
アークサインの微分
-
単位円を用いてつぎを示せ. ...
-
この問題の半径rと中心核αの扇...
-
高調波をわかりやすく例えると何?
-
cos2分のπ= cos−2分のπ= sin2...
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
三角比の問題です 0≦θ≦180とす...
-
数学Iの三角比
-
∇・∇×A=0などの恒等式の球座標...
-
∫a^2 / ( x^2 + a^2 ) ^(3/2)dx...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
高1 数学 sin cos tan の場所っ...
-
次の三角比を45°以下の角の三角...
-
tanθ=2分の1のときの sinθとcos...
-
3辺の比率が3:4:5である直...
-
e^iθの大きさ
-
教えてください!!
-
三角形の二辺と面積から、残り...
-
数学 2次曲線(楕円)の傾きの計...
-
0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、...
-
二つの円の重なっている部分の面積
-
力学・くさび
-
数学の問題で。。。0<θ<90 Sin...
-
急いでます! θが鈍角で、sinθ...
-
sin2xの微分について
-
θが鈍角のとき、sinθ=4分の3の...
-
「1対2対√3」と「サイン,コ...
-
sin三乗Θ+cos三乗Θの値は?
-
数学Iの三角比
-
画像のように、マイナスをsinの...
-
加法定理の応用問題でcosα=√1-s...
おすすめ情報