1/{a^(1/3)+b^(1/5)}の有理化

06年の和歌山県立医大で、n→∞のときの、
(n^3+n^2)^(1/3)-(n^5+n^4)^(1/5)
の極限を求めさせる問題がありました。模範解答は、
n(1+1/n)^(1/3)-n(1+1/n)^(1/5)
と変形し、誘導にそってその近似値が、
n(1+1/3n+…)-n(1+1/5n+…)
のようになることから、2/15となります。
一般の二項定理またはテイラー展開を用いた解法ともいえます。

でも、有理化でも求めることができるだろうと思うのですが。
ちょっと、質問の言い方を変えて、
1/{a^(1/3)+b^(1/5)}
の分母はどのようにすれば有理化できるのでしょうか？
可能でありましたら、より一般の場合の有理化についても教えていただけるとありがたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： looker1986 回答日時： 2008/01/25 04:36

まず、質問への回答ですが、

　( x + y )( x^2 - xy + y^2 ) = x^3 + y^3
に、x = a^(1/3), y = b^(1/5) を代入することにより、
　{ a^(1/3) + b^(1/5) }{ a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/5) + b^(2/5) } = a + b^(3/5)
を得ます。次に、
　( x + y )( x^4 - x^3*y + x^2*y^2 - x*y^3 + y^4 ) = x^5 + y^5
に、x = a, y = b^(3/5) を代入して、
　{ a + b^(3/5) }{ a^4 - a^3*b^(3/5) + a^2*b^(6/5) - a*b^(9/5) + b^(12/5) } = a^5 + b^3
結局、
　1/{ a^(1/3) + b^(1/5) }
= { a^(2/3) - a^(1/3)*b^(1/5) + b^(2/5) }{ a^4 - a^3*b^(3/5) + a^2*b^(6/5) - a*b^(9/5) + b^(12/5) }/(a^5 + b^3)
となり、有理化ができます。
これを使って医大の問題を解くことは可能かもしれませんが、ちょっと計算する気になれないので省略します(:D)

ここからは予想です。不備があるかもしれないので注意してください。
一般には、(a^n-b^n) と (a^n+b^n) の因数分解の公式から同じ操作をすれば、有理化できると思います。

つまり、n,m を自然数とし、m ： n = p ：q となる互いに素な自然数 p,q を取れば、
1/( a^(1/n) ± b^(1/m) ) = f(a, b) / ( a^p ± b^q ) ：（ f(a, b) は a, b の累乗根を含む式 ）と変形できると予想できます。
ただし、左辺と右辺の複号は対応しておらず、
左辺の複号が＋、かつ、n, m が共に奇数のときにのみ、右辺の複号は＋となり、その他の場合は－になります。
これは、実際やってみればわかると思います。質問の問題は右辺の複号が＋となる例ですね。