Re: f:[0,1]で連続関数,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)の証明での疑問

[問]fを[0,1]で連続な関数とする時,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)となる事を示せ。

という問題に取り組んでいます。

積分の平均値の定理「fが[a,b]で連続ならば∃c∈(a,b);∫[a～
b]f(x)dx=f(c)(b-a)」を使って下記のように解きました。

十分小さな正の数εでもって，[0，1－ε]，[1－ε，1]に積分区間を分けると，
f(x^n)は連続なので，積分の平均値の定理から，
∫[0 to 1]f(x^n)dx
＝∫[0 to 1－ε]f(x^n)dx＋∫[1－εto 1]f(x^n)dx
＝(1－ε)f(α^n)＋εf(β^n)　（0＜α＜1－ε＜β＜1）
→(1-ε)f(0)+εf(0)=f(0)

然し,βはεに依存するので1未満だからといってβ^n→0とはそう簡単には言えないみたいなのです。
私としましてはεに依存してようが1未満なので必ずβ^n→0と思うのですが、、、
どのように解釈したらいいでしょうか?

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/02 03:22

>然し,βはεに依存するので1未満だからといってβ^n→0とはそう簡単には言えないみたいなのです。

>私としましてはεに依存してようが1未満なので必ずβ^n→0と思うのですが、、、

βは n にも依存しているからです。

この回答へのお礼

遅くなりましてすいません。

> βは n にも依存しているからです。

βはnの関数にもなっているのですか!?
積分の平均値の定理からβ∈[1-ε,1];∫[1～1-ε]f(x^n)dx=εf(β^n)を満たす定数(εの大きさには左右されますが)だと思いますが。。

お礼日時：2008/02/03 04:13

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/02/02 03:57

0 < β < 1 であっても、lim[n→∞]β = 1 の場合が問題になります。

例えば β = 1 - (1/n) のとき、lim[n→∞]β^n の値はどうなりますか？

この回答へのお礼

> 0 < β < 1 であっても、lim[n→∞]β = 1 の場合が問題になります。
> 例えば β = 1 - (1/n) のとき、lim[n→∞]β^n の値はどうなりますか？

これは1になるのはわかりますが、、、
βがε丈でなくnにも左右されている事にいまいちピンときません。

積分の平均値の定理からβ∈[1-ε,1];∫[1～1-ε]f(x^n)dx=εf(β^n)を満たす定数
(εの大きさには左右されますが)だとばかり思いこんでましたが。。

nに左右される事はどうすれば理解できますでしょうか?

お礼日時：2008/02/03 04:19

No.3 ベストアンサー 回答者： noname#50894 回答日時： 2008/02/02 07:51

お二人が問題点を指摘されていますので、証明だけです。

0<c<1を任意に与える。

|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx+∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx

∀ε>0;∃N：自然数
|f(x^n)-f(0)|<ε［n>N］から
∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx<(1-c)ε<ε

max[1-c≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|］
≦max[0≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|］
≦2max[0≦x≦1]|f(x)|=Ｍ

とおいて、

|∫[x=1-c,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx
＝Ｍc

即ち
|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|<ε+Ｍc［n>N］
から
lim[n→∞]|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|≦Ｍc

左辺は、0<c<1の選び方に依存しないので、
lim[n→∞]|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|≦0

lim[n→∞]∫[x=0,1]f(x^n)=f(0)

この回答へのお礼

どうも有り難うございます。
おかげ様で解決できました。

お礼日時：2008/02/09 09:32

No.4 回答者： noname#57316 回答日時： 2008/02/02 08:38

∫[0 to 1]f(x^n)dx

＝∫[0 to 1－ε]f(x^n)dx＋∫[1－ε to 1]f(x^n)dx
＝(1－ε)f(α^n)＋εf(β^n)　（0＜α＜1－ε＜β＜1）

ここで、ε→0　のとき
(1－ε)f(α^n)→f(0)
εf(β^n)→0

∴　(1－ε)f(α^n)＋εf(β^n)→f(0)

この回答へのお礼

どうも有り難うございます。
おかげ様で解決できました。

お礼日時：2008/02/09 09:31

No.5 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/03 11:16

>βはnの関数にもなっているのですか!?

> 積分の平均値の定理からβ∈[1-ε,1];∫[1～1-ε]f(x^n)dx=εf(β^n)を満たす定数
>(εの大きさには左右されますが)だと思いますが。。

注意力が足りないようですね。
ひとつ n を固定した時に決まる関数 f(x^n) に対してβが決まるのです。
f(x) に対するβと f(x^2) に対するβと f(x^3)に対するβはすべて違います。

この回答へのお礼

どうも有り難うございます。
おかげ様で解決できました。

お礼日時：2008/02/09 09:30