利用規約の変更について

n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。
[1] Aは正則
[2] |A|≠0
[3] rank A = n
[4] Aのn個の列ベクトルは1次独立。
[5] AB = Eを満たすn次正方行列Bが存在する。

 [1]→[2] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1=Eとなる。
|AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|=1≠0となり、|A|≠0であることがわかる。
∴ Aが正則ならば|A|≠0である。

[2]→[3] P、Qを正則行列として、
PAQ=(Er 0 0 0) としたとき
Aがn次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もn次の正方行列である。
|A|≠0より|PAQ|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=nが言える。
∴ |A|≠0ならば、rankA=nである。

[3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、
Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。
よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。
∴ rankA=nならば、Aのn個の列ベクトルは1次独立である。

[4]→[5] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。
また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・(1)とする。
a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、(1)式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。
このとき|A|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので
|A|≠0である必要がある。|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。
このとき、A^-1=Bとすれば、AB=Eとなる。
∴ Aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する。

[5]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠0。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。
C=EC=(AB)C=A(BC)=AE=A。
ここで、BA=Eであることがわかる。
AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが1つしか存在しない。
よって、BがAの逆行列であることがわかる。
Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。

∴ AB=Eを満たすn次正方行列が存在すれば、Aは正則である。

上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか?
アドバイスお願い致します。

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A 回答 (3件)

こんばんは。



[2]→[3]
適当なn次の正則行列P,Qが存在して
PAQ=(Er 0 0 0)
とできる。
[1]→[2]より 正則行列ならばその行列式も0ではないから、|P|≠0,|Q|≠0.また、|A|≠0より|PAQ|=|P||A||Q|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=n となる.
∴ |A|≠0ならば、rankA=nである.

[3]→[4](証明の方針)
Aのn個の列ベクトルが線形従属ならば、どれか1つの列ベクトルが他のn-1個の列ベクトルの自明でない線形結合で表される.
つまり、Aの列基本変形により第n列が0ベクトルであるように変形できる。これはrankA=n に矛盾.したがって、Aのn個の列ベクトルは線形独立.

[4]→[5](証明の方針)
Aの列ベクトルが線形独立ならばn個の未知数に関するn個の一次方程式系(AX=0)は自明な解しかもたない。
また、適当な正則行列Bが存在して
AB=E_r (r = rank A)とできる。このときr<n ならば、一次方程式系AX=0 は自明でない解をもつことになるから矛盾。したがって、AB=E を満たす正方行列Bが存在する。

[3]→[4],[4]→[5]は証明の方針なので、レポートなりテストの答案に書くときはもっと詳しく書いたほうがよいです。
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この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
説明不足でした。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時:2008/02/09 21:07

正則の定義


階数の定義
を補足に書け
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この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
説明不足でした。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時:2008/02/09 21:07

>[2]→[3] P、Qを正則行列として、


>PAQ=(Er 0 0 0) としたとき
rank の定義によるけど、微妙だなあ。


>[3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、
>Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。
>よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。
明らかに適当すぎます。「わかってる」としても証明としてはダメだと思われます。


>[4]→[5]
まったくダメです。どんどんダメになっていってる。
「|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。」今まさに |A| ≠ 0 の時に逆行列が存在することを示さんとしていることを思い出しましょう。

>[5]→[1]
同じくダメです。
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この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時:2008/02/09 21:07

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Qn次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。

n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。
(逆行列を用いて定義するときは、その定義も述べよ。)
という問題があるのですが回答は

n次正方行列Aに対して
AX=XA=En(n次単位行列)
をみたすn次正方行列XがあるときAは正則であるといい、
このときの行列XをA-1(Aインバース)と表して
「Aインバース」と読みAの逆行列という。

これで合ってますか?

あと
n次正方行列Aが等式A^3+A-E=0を満たすとき、
Aは正則であることを示せ。
またA-1をAおよびEを用いて表せ。
この問題が分かりません。

どなたか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

正則性の定義は、貴方のものでも良いし、
det A ≠ 0 や rank A = n でも良い。
ただし、流れから言って
det や rank の定義を書き添える必要がありそうだから、
貴方の定義のほうが、簡潔で書き損じが生じ難いと思う。

> これって XA = E は
> 示さなくても正則といえるのでしょうか?

(A^2 + E)A = E と書いとけば良い。
あるいは、定義のほうを AX = E だけにしておく手も。

ケイリー・ハミルトンの定理より、
A に逆行列が在れば、それは A の多項式で書ける
ことが解るから、逆行列は A と可換になる。

Qdet(A)≠0 の必要十分条件を教え乞う!

質問1.n次正方行列 A の行列式 det(A) が 0 でない( det(A)≠0 )ための必要十分条件を教えて下さい.

質問2.n次正方行列 B の行列式 det(B) が 0 になる( det(B)=0 )ための必要十分条件を教えて下さい.

「質問1」や「質問2」が,定理か何かの形で分かっていれば,是非,教えて下さい.

ちょっと,調べましたところ,Wikipedia には,記述がありません.「数学辞典・3版」や「数学辞典・4版」にも載っていないようです.その他の数学の辞典類にも見あたりません.

定理でなくても,det(A)≠0 又は det(B)=0 を調べる数学的手法があれば教えて下さい.

よろしくおねがいします.

Aベストアンサー

体を成分にもつ n 次正方行列 A の話だとします.次は同値です.

(1) det(A) ≠ 0
(2) ある n 次正方行列 B で AB = BA = I (単位行列) を満たすものが存在する
(3) A の列ベクトルは線型独立
(4) rank(A) = n
(5) 連立方程式 Ax = 0 の解は自明なもの x = 0 に限る
(6) null(A) = 0

Wikipediaにも大体載ってますし,数学辞典でも行列の項などを引けば見つかります.線型代数の教科書であれば,どんなものにも載っているでしょう.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/正則行列


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