n次正方行列Aに関して次の[1]~[5]はすべて同値であることを証明せよ。
[1] Aは正則
[2] |A|≠0
[3] rank A = n
[4] Aのn個の列ベクトルは1次独立。
[5] AB = Eを満たすn次正方行列Bが存在する。
[1]→[2] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1=Eとなる。
|AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|=1≠0となり、|A|≠0であることがわかる。
∴ Aが正則ならば|A|≠0である。
[2]→[3] P、Qを正則行列として、
PAQ=(Er 0 0 0) としたとき
Aがn次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もn次の正方行列である。
|A|≠0より|PAQ|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=nが言える。
∴ |A|≠0ならば、rankA=nである。
[3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、
Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。
よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。
∴ rankA=nならば、Aのn個の列ベクトルは1次独立である。
[4]→[5] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。
また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=0・・・(1)とする。
a1、a2、・・・・、anが1次独立であるので、(1)式中のxi(i=1、2、・・・n)はすべて0となる。
このとき|A|=0であると、xiが自明な解以外の解を持ってしまうので
|A|≠0である必要がある。|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。
このとき、A^-1=Bとすれば、AB=Eとなる。
∴ Aのn個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすn次正方行列Bが存在する。
[5]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠0。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。
C=EC=(AB)C=A(BC)=AE=A。
ここで、BA=Eであることがわかる。
AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが1つしか存在しない。
よって、BがAの逆行列であることがわかる。
Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。
∴ AB=Eを満たすn次正方行列が存在すれば、Aは正則である。
上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか?
アドバイスお願い致します。
No.1
- 回答日時:
>[2]→[3] P、Qを正則行列として、
>PAQ=(Er 0 0 0) としたとき
rank の定義によるけど、微妙だなあ。
>[3]→[4] Aがn次正方行列でrankA=nより、
>Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にn行n列の単位行列にできる。
>よって、単位行列のn個の各列ベクトルは、単位基底であるので1次独立である。
明らかに適当すぎます。「わかってる」としても証明としてはダメだと思われます。
>[4]→[5]
まったくダメです。どんどんダメになっていってる。
「|A|≠0であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。」今まさに |A| ≠ 0 の時に逆行列が存在することを示さんとしていることを思い出しましょう。
>[5]→[1]
同じくダメです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
[2]→[3]
適当なn次の正則行列P,Qが存在して
PAQ=(Er 0 0 0)
とできる。
[1]→[2]より 正則行列ならばその行列式も0ではないから、|P|≠0,|Q|≠0.また、|A|≠0より|PAQ|=|P||A||Q|≠0で(Er 0 0 0)≠0となり、r=nなり、rankA=n となる.
∴ |A|≠0ならば、rankA=nである.
[3]→[4](証明の方針)
Aのn個の列ベクトルが線形従属ならば、どれか1つの列ベクトルが他のn-1個の列ベクトルの自明でない線形結合で表される.
つまり、Aの列基本変形により第n列が0ベクトルであるように変形できる。これはrankA=n に矛盾.したがって、Aのn個の列ベクトルは線形独立.
[4]→[5](証明の方針)
Aの列ベクトルが線形独立ならばn個の未知数に関するn個の一次方程式系(AX=0)は自明な解しかもたない。
また、適当な正則行列Bが存在して
AB=E_r (r = rank A)とできる。このときr<n ならば、一次方程式系AX=0 は自明でない解をもつことになるから矛盾。したがって、AB=E を満たす正方行列Bが存在する。
[3]→[4],[4]→[5]は証明の方針なので、レポートなりテストの答案に書くときはもっと詳しく書いたほうがよいです。
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