{x1,x2,…,xn}は正規直交系でxがspan{x1,x2,…,xn}に無いならxは直交する?

[Q] Given a orthonormal set,O:{x1,x2,…,xn},and x is not in spanO,show that x is orthonormal to every vector in O.

という定理についてです。
仮定は<xi,xj>=δij (i,j∈{1,2,…,n})
xがspanOの中に無いというのだからx,x1,x2,…,xnは一次独立ですよね。
一次独立だからといってxがOのどの元とも直交するとは言えませんよね。
背理法で∃i∈{1,2,…,n};<x,xi>≠0だと仮定してみると
∥x∥∥xi∥cos∠(x,xi)≠0と書け、、、
からどうやってxがOのどの元とも直交である事を示せばいいのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： 31415926 回答日時： 2008/02/12 05:13

[Q]で書いてある主張は正しくないです．

反例：n=1, x_1=(1 0)の転置, x=(1 1)の転置.

この回答へのお礼

> [Q]で書いてある主張は正しくないです．
> 反例：n=1, x_1=(1 0)の転置, x=(1 1)の転置.

反例有難うございます。
∥t(1,1)∥=2≠1となってしまいますね。

納得致しました。

お礼日時：2008/02/13 09:30