No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
<立方体>
最初の1色を塗る面は6通り。最初の1色を塗った面を上面とします。
下面の色は、5通り。
4つの側面の色は、3つを決めれば残りの面の色は決まるので、(4-1)!
よって、塗り方は、6×5×(4-1)! 通りがありそうに思えます。
ところが、立方体は、どの面も平等なので、ころがして6色のうちのある1色、たとえば赤を上面に持ってくると、上面に塗る最初の1色が赤であったのと同じ状況になります。
つまり、最初の1色はどの面に塗っても良いのですが、最初に塗った面を基準にして他の面の場所を考えるという考えかたをすれば、6通りではなく1通りであることに気づきます。
よって、6×5×(4-1)! を6で割らないといけません。
これは、上面を固定したのと同じことになります。
<直方体>
直方体の面は平等ではありません。
ですから、 6×5×(4-1)! になりそうです。
ただし、直方体には向かい合う2つの面がそれぞれ合同であるという特徴があります。
よって、180度回転して同じになるダブりを除かなくてはいけません。
ですから、6×5×(4-1)! を 2で割ります。
No.2
- 回答日時:
色を塗る前の立方体の、あるひとつの面に、
対称性のない図形(例えばRとか)が書いてあった
と思ってみましょう。
立方体を、回転させて元の輪郭の中に置き直すやりかたは、
Rのある面の位置で6通り、その面内でのRの向きで4通り、
計6×4通りあります。
空間に固定した立方体の各面を、6色の異なる色で塗る
やり方は、6!通り。
その内、塗り終わった立方体を回転して置き直すことで
一致してしまうものが、各6×4個づつあるのですから、
空間に固定されていない立方体を塗るやりかたは、
6!÷(6×4)通り。これは、5×(4-1)!と同じ値です。
この解法で、立方体を回転させる代わりに、見ている人の位置のほうを
Rの書いてある面の正面に固定して考えれば、
「上面を固定して」という説明になると思います。
三辺が異なる直方体の場合は、
回転させて元の輪郭の中に置き直すやりかたが、
各辺方向を軸とした180°回転の組み合わせ2×2×2通りですから、
同様に考えて、色の塗り方は6!÷(2×2×2)通り。
「上面を固定しない」解法は、よくわかりません。
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