確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を

もし確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を求めよ。

という類の問題なのですがどなたか解き方をご教示ください。

ポアソン分布とは
「ポアソン分布
特定の事象が起こる確率ｐはきわめて小さいが、試行回数ｎが非常に多いためにその
事象が何回かは起こるときその生起回数の分布として表れる。
パラメータλのポアソン分布の確率密度関数は
p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である。ポアソン分布の平均、分散はともにλである」
といったものです。

No.1 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/23 00:07

ポアソン分布において、

P(X=k) = {(λ^k)/k!} e^(-λ)
ですから、条件 P(X=1)=P(X=2) からλ(＞0)を求め、それからP(X=4)を求めれば良いです。

P(X=1) = λ e^(-λ)
P(X=2) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
P(X=1) = P(X=2) ⇔ λ e^(-λ) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
λ = (λ^2) / 2
λ (λ - 2) = 0
λ＞0 として λ = 2
P(X=4) = {2^4/(4!)} e^(-2)

＞ p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である
に数字を入れて解くだけなのに。ポアソン分布の説明を書いていただいたのは良いのですが、その時間があるなら、ご自分で計算してみてはいかが？

この回答へのお礼

誠に有難うございます。

> λ＞0 として

ここはどうしてλ>0でなければならないのでしょうか?

λ = 2


> ですが、その時間があるなら、ご自分で計算してみてはいかが？

恐れ入ります。
とても勉強になりました。

お礼日時：2008/02/24 06:30

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/24 21:46

＞　ここはどうしてλ>0でなければならないのでしょうか

ポアソン分布を考えるにおいて、λは正の実数とします。
この理由は、ポアソン分布の生い立ち（どのような確率過程に従った現象の確率を計算するとポアソン分布になるか）によっています。λ が負では定義されず、λ=0 では確率分布が存在しないので（λ=0というのは未来永劫何も起きないということが分かっているということで、しいて言えばP(X=0)=1, P(X＞0)=0 ）、λ=0 のポアソン分布を考えるのは確率分布という点において意味がありません。
数学の問題として、単に方程式 λ e^(-λ) = {(λ^2)/2!}e^(-λ) を解け、ということであれば λ=0 も解の一つとなりますが、それが確率分布であり、そのλからP(n)を求める事を目的とするならば、（この問題の出題者は何と言われるか分かりませんが）私は λ=0 は外すのが妥当ではないかと思いますし、教科書によっては、λは正の実数としてポアソン分布が定義されています。

この回答へのお礼

ご詳細なご説明誠に有難うございます。
今後深くポアソン分布について考察を重ねていきたいと思います。

お礼日時：2008/02/25 04:48