「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

半空間,開半空間,境界の定義についての確認です。


KをR(:実数体)の一つの部分体とし,K上のn次元縦vectorの空間をK^n,n次元横vectorの空間をK_nと表す事にする。

K_nの一つの元a≠0に対して,K^nの部分集合{x;ax≦0}を半空間,{x;ax<0}を開半空間と呼ぶ。
この時{x;ax=0}を{x;ax≦0}と{x;ax<0}の境界と呼ぶ。
と定義したのですがこの定義で正しいでしょうか?

A 回答 (2件)

「半空間」は、結構よく使われる用語ですが、定義の細部は文脈依存で、


広く合意された単一の定義がある訳ではありません。

単に「半空間」と言ったときに、閉半空間を意味するのか、
開半空間を意味するのかすら、統一されてはいないように思います。
線型計画法の教科書では、「半空間」と言えば閉半空間の意味ですし、
関数論では、「半平面」と言えば(複素平面上の)開半平面を指します。

貴方の必要に応じて、好きに定義して使えば良いのではないでしょうか。
但し、「ここでは、半空間という用語を~の意味で用いる。」と、
明確に定義することが必要です。

「半平面」が原点を境界上に持つか否かも、
「単位円」が原点中心か否か同様に、文脈依存だと思います。
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この回答へのお礼

了解致しました。
お陰様で安心いたしまた。どうも有り難うございました。

お礼日時:2008/02/26 07:44

定義するのは自由ですが,普通の定義とは異なると思います.



具体的には,その定義では原点を境界に含む半空間しか表していません.
もちろん,それ以外を半空間としたくないのであれば,この定義で良いのですが.
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この回答へのお礼

了解致しました。
お陰様で安心いたしまた。どうも有り難うございました。

お礼日時:2008/02/26 07:45

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行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
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>cを列ベクトル、Aを行列とする。
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>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

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A=
|1 -1|
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の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
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与式=
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|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
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まず
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|1-t -1|
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λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
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したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
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