積分の単調性

こんにちは。| f(x)|≧f(x)の時に∫|f(x)|dx≧∫f(x)dxになるのは直感的には理解できますが論理的に証明出来ません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/02/26 22:08

積分の定義（区分求積法）に戻るのが一番いいのですが，

高校の定義（原始関数によるもの）で考えていいでしょう．
細かいところは自分で埋めてください

Step 1
a<b とします．面倒なので積分の上端・下端は省略
f >=0 のとき ∫ f(x)dx >= 0 を示す．
F'(x)=f(x) >= 0 であるので，F(x)は（広義）単調増加
＃F(x)の導関数が0以上だってこと
したがって，F(a)<=F(b)
つまり，
∫f(x)dx = F(b)-F(a) >=0

Step 2
g(x)=|f(x)|-f(x)とすれば，g(x)>=0
Step 1より
∫|f(x)|dx -∫f(x)dx =∫ g(x)dx >=0
証明終

＃積分の線型性も高校流の定義で証明はできます．

この回答への補足

回答ありがとうございます。積分の定義（区分求積法）で証明して頂けるとうれしいのですが。よろしくお願いします。

補足日時：2008/02/27 17:38

No.5 回答者： PRFRD 回答日時： 2008/02/26 21:05

積分の定義に戻ればわかります．

普通のリーマン積分では，積分はリーマン和の極限，すなわち
　∫[a,b] f(x) dx = lim Σ[i=1,n] f(x_i) (x_i - x_{i-1})
で定義されるはずです．ただし lim は [a,b] の分割 Δ について
|Δ| → 0 で取ります（詳しくは自分の教科書を確認してください）．

f(x) ≧ 0 ならば，右辺は非負です．したがって積分も非負です．

積分をこれ以外で定義している場合でも，普通は定義から
容易に出るはずです．

No.4 回答者： N64 回答日時： 2008/02/26 20:19

> ∫[a,b]g(x)dt≧0が自動的に成り立つことが理解できません。

定積分の基本公式の中に、被積分関数の線形性があります。
式にすると、
∫{αf(x)＋βｇ(x)｝dx＝α∫f(x)dx＋β∫g(x)dx
です。（積分区間はすべてａからｂまでです。）
この公式が成り立つことは、積分の定義から明らかでしょう。

この回答への補足

その公式は分かるのですが、私が疑問なのはその1つ手前のg(x)≧0の時、∫[a,b]g(x)dt≧0が成立するということです。何故そういえるのかが分かりません。その後の線形成の話は分かりました。よろしくお願いします。

補足日時：2008/02/26 20:29

No.3 回答者： mamoru1220#1 回答日時： 2008/02/26 17:24

g(x)=|f(x)|-f(x)≧0

であることを示せば良いと思います。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/02/26 16:49

#1です。

＞∫[a,b]g(x)dt＞0
∫[a,b]g(x)dt≧0
と訂正します。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/02/26 16:46

不定積分では積分値が確定しないので証明は無理。

両方の積分の積分範囲が一致しているとの条件が必要。

g(x)=|f(x)|-f(x)≧0
から,a≦bとして
∫[a,b]g(x)dt＞0
が成立。
この式に
g(x)=|f(x)|-f(x)を代入して
積分を2つにわけ、移行すれば、証明する式が導出できる。

この回答への補足

回答ありがとうございます。ご指摘どおり、これはa to bの定積分です。

g(x)=|f(x)|-f(x)≧0の時、∫[a,b]g(x)dt≧0が自動的に成り立つことが理解できません。感覚的にはわかるのですが、どうやって証明するのでしょうか？よろしくお願いします。

補足日時：2008/02/26 18:51