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こんにちは。| f(x)|≧f(x)の時に∫|f(x)|dx≧∫f(x)dxになるのは直感的には理解できますが論理的に証明出来ません。どなたか教えてください。よろしくお願いします。

A 回答 (6件)

積分の定義(区分求積法)に戻るのが一番いいのですが,


高校の定義(原始関数によるもの)で考えていいでしょう.
細かいところは自分で埋めてください

Step 1
a<b とします.面倒なので積分の上端・下端は省略
f >=0 のとき ∫ f(x)dx >= 0 を示す.
F'(x)=f(x) >= 0 であるので,F(x)は(広義)単調増加
#F(x)の導関数が0以上だってこと
したがって,F(a)<=F(b)
つまり,
∫f(x)dx = F(b)-F(a) >=0

Step 2
g(x)=|f(x)|-f(x)とすれば,g(x)>=0
Step 1より
∫|f(x)|dx -∫f(x)dx =∫ g(x)dx >=0
証明終

#積分の線型性も高校流の定義で証明はできます.

この回答への補足

回答ありがとうございます。積分の定義(区分求積法)で証明して頂けるとうれしいのですが。よろしくお願いします。

補足日時:2008/02/27 17:38
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積分の定義に戻ればわかります.



普通のリーマン積分では,積分はリーマン和の極限,すなわち
 ∫[a,b] f(x) dx = lim Σ[i=1,n] f(x_i) (x_i - x_{i-1})
で定義されるはずです.ただし lim は [a,b] の分割 Δ について
|Δ| → 0 で取ります(詳しくは自分の教科書を確認してください).

f(x) ≧ 0 ならば,右辺は非負です.したがって積分も非負です.

積分をこれ以外で定義している場合でも,普通は定義から
容易に出るはずです.
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> ∫[a,b]g(x)dt≧0が自動的に成り立つことが理解できません。


定積分の基本公式の中に、被積分関数の線形性があります。
式にすると、
∫{αf(x)+βg(x)}dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx
です。(積分区間はすべてaからbまでです。)
この公式が成り立つことは、積分の定義から明らかでしょう。

この回答への補足

その公式は分かるのですが、私が疑問なのはその1つ手前のg(x)≧0の時、∫[a,b]g(x)dt≧0が成立するということです。何故そういえるのかが分かりません。その後の線形成の話は分かりました。よろしくお願いします。

補足日時:2008/02/26 20:29
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g(x)=|f(x)|-f(x)≧0


であることを示せば良いと思います。
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#1です。


>∫[a,b]g(x)dt>0
∫[a,b]g(x)dt≧0
と訂正します。
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不定積分では積分値が確定しないので証明は無理。


両方の積分の積分範囲が一致しているとの条件が必要。

g(x)=|f(x)|-f(x)≧0
から,a≦bとして
∫[a,b]g(x)dt>0
が成立。
この式に
g(x)=|f(x)|-f(x)を代入して
積分を2つにわけ、移行すれば、証明する式が導出できる。

この回答への補足

回答ありがとうございます。ご指摘どおり、これはa to bの定積分です。

g(x)=|f(x)|-f(x)≧0の時、∫[a,b]g(x)dt≧0が自動的に成り立つことが理解できません。感覚的にはわかるのですが、どうやって証明するのでしょうか?よろしくお願いします。

補足日時:2008/02/26 18:51
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