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速度が2倍になると,運動エネルギーはその2乗で4倍になります.
なので,10km/hのエネルギーを1とすると,20km/hでは4です.

つまり,時速0km/hの物体を10km/hに加速させるのには,1のエネルギーが必要とすれば,10km/h→20km/hに加速するには3のエネルギーが必要?

同様に,20→30kmに加速するには5のエネルギーが必要で・・・・
というように,速度が早くなればなるほど,10km/h加速するのに必要なエネルギーが増えてしまうのですが,この考えは正しいのでしょうか?

速度は相対的なものですし,直感的に正しくない気がするのですが,よくわかりません.

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A 回答 (5件)

(アインシュタインの) 相対論的に考えれば, 10km/h から 20km/h に加速するときのエネルギーと 20km/h から 30km/h に加速するときのエネルギーが違う (後者の方が大きい) のは当然です.


あっち世界では, 運動エネルギーは「その速度で運動するための質量エネルギーの増分」となっています. で, 質量 (エネルギー) の増分は 10km/h → 20km/h よりも 20km/h → 30km/h のときの方が多いです.
でもって, 慣性系を乗り換えるたびに速度の合成を行わなきゃならないので, 「乗り換えた慣性系では速度の増分が一定」であっても「もともとの慣性系では速度の増分が減っていく」ということになります>#2.
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例えば、重力でも、手で押すでも、何らかの外力で、物体に力を作用させて、速度を得る場合を考えます。


速度を2倍にするには、2倍の時間力を作用させる必要があります。
1倍の速度になるまでに進む距離と2倍の速度になるまでに進む距離は1:4になります。(進む距離=1/2×加速度×時間の2乗)
エネルギーの定義は、力×距離ですから、同じ力を加え続けて、4倍の距離を作用させれば、エネルギーは4倍必要ということになります。

自動車では、空気抵抗や、摩擦を抜きにして考えます。
要はタイヤの回転速度で、自動車の走行速度が決まり、エネルギーはすべてタイヤの回転速度に変換されると考えます。
タイヤの慣性モーメントだけを考慮し、タイヤの回転速度を2倍にするには、1倍のときの4倍のエネルギーを加える必要があります。
同じトルクを4倍の角度分加え続けなければならないからです。
自転車でも、どんなに空気抵抗のない場合でも、早く回っているものをさらに早くまわそうとすると、とにかくたくさん回転させなければ、2倍の速度にならないのです。

ロケットは、小物体を噴射することによって、反作用により推力を得ます。
自ら、質量を減らしながら、推力を得ているので、慣性系の移し変えはややこしいことになります。
実は、ロケットの場合、噴射した分の物体と本体を含めた重心の速度は止まったままです。エネルギーは、噴射物体分と本体分に振り分けられます。慣性系を移して考えると、結局なにを計算しているのかわからなくなってしまいます。
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ひとつの物体だけを考えると、速度 V の座標系では物体を速度 0 から v に加速するのに必要なエネルギーは (1/2)mv^2 で、同じ現象を速度 0 の座標系で見ると、速度 V から V+v に加速されているので、必要なエネルギーは (1/2)m((V+v)^2-V^2) = (1/2)m(v^2+2Vv) となり、mVv のエネルギーがどこからか湧いてきてしまいます。


この矛盾を解消するには「作用反作用の法則」が必要です。
つまり、m を v だけ加速するには反作用質量 M を (m/M)v だけ逆向きに加速する必要があるのです。
すると、速度 v の座標系で必要なエネルギーは、
(1/2)mv^2+(1/2)(m^2/M)v^2
速度 0 の座標系で必要なエネルギーは、
(1/2)m((V+v)^2-V^2)+(1/2)M((V-(m/M)v)^2-V^2)
= (1/2)m(v^2+2Vv)+(1/2)((m^2/M)v^2-2mVv)
= (1/2)mv^2+(1/2)(m^2/M)v^2
と、どちらも等しくなります。
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こんにちは。



結論から申しまして、正しいです。

私自身も若かりし頃、似たような「パラドックス」にはまりました。

1.
時速0km/hの物体を10km/hに加速させるのに,1のエネルギーを使う

2.
次に、物体が進む方向に10km/hを足した慣性系で考える
すると、その物体は止まって見える。
つまり、10km/hの物体は相対速度0km/h

3.
これを、相対速度20km/h(相対速度10km)に加速するには、1のエネルギー ・・・・・あれれ?

となってしまったわけです。


以上の考え方はまずいので、考え直します。

重力加速度gのもとで、ある高さ(ゼロとする)から物体を自由落下させることを考えます。
物体が距離hだけ落下した状態を考えると、
位置エネルギーは、-mgh、
エネルギー保存則より運動エネルギーはmgh

一方、時刻をtと置けば、
速度vは v=gt、
距離hは、
h=∫vdt = 1/2・gt^2
 = 1/2・g・(v/g)^2
 = 1/2・v^2/g
よって、運動エネルギーmghは、
mgh = mg・1/2・v^2/g = 1/2・mv^2
(そのとき位置エネルギーは、-mgh)

何を言いたいかといえば、
やっぱり、エネルギー(mgh)と v^2 は、比例関係にあるので、
vを1倍、2倍、3倍にするには、
通算で、1、3、5、7・・・・・のエネルギーが必要だということです。
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その通りです。



だから,自動車のエンジンのパワーが増えても最高速度は対して上がらないのはそのためです。
時速100キロだすためには50馬力もあれば十分ですが200キロをだすためには
200馬力近いパワーがいりますよね。
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Q異なる慣性系での運動エネルギーの差の矛盾

慣性系Xに対し速度Vで運動している慣性系Yにおいて、
静止している物体(質量m)を速度vまで加速するのに必要なエネルギーEは、
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一方、慣性系Xで考えると、運動エネルギーの差から、
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これと同様の質問がすでにありましたが、私にはよく理解できませんでした。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3847095.html
相対性理論?(ある程度は理解しているので、数式での説明が欲しいです)
反作用質量?(初めて聞きました)

Aベストアンサー

この問題に相対論は不要です。

ご存知の通り、運動エネルギーの増分は仕事です。そして仕事とは(力)×(動いた距離)です。
ところがこの(動いた距離)は観測者の速度によって異なります。具体的には力を加えた時間をTとして、速さVで動いている系では余分にVTだけ動いて見えます。ですからこの系で物体に加えられた仕事を計算するとFVTだけ大きくなります。
今の場合、速さvになるまで力を加えたのでv=(F/m)TよりFT=mvとなり(もちろん運動量と力積の関係から出してもいいです)、速さVで動いている観測者からはmvVだけ多く仕事を加えたように見えます。これが一見余分なmvVという項のでどころです。
このように一般にエネルギーも仕事も観測者により違う値となるので注意してください。


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