運動エネルギーと速度

速度が2倍になると，運動エネルギーはその2乗で4倍になります．
なので，10km/hのエネルギーを1とすると，20km/hでは4です．

つまり，時速0km/hの物体を10km/hに加速させるのには，1のエネルギーが必要とすれば，10km/h→20km/hに加速するには3のエネルギーが必要？

同様に，20→30kmに加速するには5のエネルギーが必要で・・・・
というように，速度が早くなればなるほど，10km/h加速するのに必要なエネルギーが増えてしまうのですが，この考えは正しいのでしょうか？

速度は相対的なものですし，直感的に正しくない気がするのですが，よくわかりません．

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/03/10 13:13

(アインシュタインの) 相対論的に考えれば, 10km/h から 20km/h に加速するときのエネルギーと 20km/h から 30km/h に加速するときのエネルギーが違う (後者の方が大きい) のは当然です.

あっち世界では, 運動エネルギーは「その速度で運動するための質量エネルギーの増分」となっています. で, 質量 (エネルギー) の増分は 10km/h → 20km/h よりも 20km/h → 30km/h のときの方が多いです.
でもって, 慣性系を乗り換えるたびに速度の合成を行わなきゃならないので, 「乗り換えた慣性系では速度の増分が一定」であっても「もともとの慣性系では速度の増分が減っていく」ということになります＞#2.

No.5 回答者： 91091 回答日時： 2008/03/10 22:30

例えば、重力でも、手で押すでも、何らかの外力で、物体に力を作用させて、速度を得る場合を考えます。

速度を２倍にするには、２倍の時間力を作用させる必要があります。
１倍の速度になるまでに進む距離と２倍の速度になるまでに進む距離は１：４になります。（進む距離＝１/２×加速度×時間の２乗）
エネルギーの定義は、力×距離ですから、同じ力を加え続けて、４倍の距離を作用させれば、エネルギーは４倍必要ということになります。

自動車では、空気抵抗や、摩擦を抜きにして考えます。
要はタイヤの回転速度で、自動車の走行速度が決まり、エネルギーはすべてタイヤの回転速度に変換されると考えます。
タイヤの慣性モーメントだけを考慮し、タイヤの回転速度を２倍にするには、１倍のときの４倍のエネルギーを加える必要があります。
同じトルクを４倍の角度分加え続けなければならないからです。
自転車でも、どんなに空気抵抗のない場合でも、早く回っているものをさらに早くまわそうとすると、とにかくたくさん回転させなければ、２倍の速度にならないのです。

ロケットは、小物体を噴射することによって、反作用により推力を得ます。
自ら、質量を減らしながら、推力を得ているので、慣性系の移し変えはややこしいことになります。
実は、ロケットの場合、噴射した分の物体と本体を含めた重心の速度は止まったままです。エネルギーは、噴射物体分と本体分に振り分けられます。慣性系を移して考えると、結局なにを計算しているのかわからなくなってしまいます。

No.4 回答者： sparrow32h 回答日時： 2008/03/10 14:13

ひとつの物体だけを考えると、速度 V の座標系では物体を速度 0 から v に加速するのに必要なエネルギーは (1/2)mv^2 で、同じ現象を速度 0 の座標系で見ると、速度 V から V+v に加速されているので、必要なエネルギーは (1/2)m((V+v)^2-V^2) = (1/2)m(v^2+2Vv) となり、mVv のエネルギーがどこからか湧いてきてしまいます。

この矛盾を解消するには「作用反作用の法則」が必要です。
つまり、m を v だけ加速するには反作用質量 M を (m/M)v だけ逆向きに加速する必要があるのです。
すると、速度 v の座標系で必要なエネルギーは、
(1/2)mv^2+(1/2)(m^2/M)v^2
速度 0 の座標系で必要なエネルギーは、
(1/2)m((V+v)^2-V^2)+(1/2)M((V-(m/M)v)^2-V^2)
= (1/2)m(v^2+2Vv)+(1/2)((m^2/M)v^2-2mVv)
= (1/2)mv^2+(1/2)(m^2/M)v^2
と、どちらも等しくなります。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/03/09 17:14

こんにちは。

結論から申しまして、正しいです。

私自身も若かりし頃、似たような「パラドックス」にはまりました。

１．
時速０ｋｍ／ｈの物体を１０ｋｍ／ｈに加速させるのに，１のエネルギーを使う

２．
次に、物体が進む方向に１０ｋｍ／ｈを足した慣性系で考える
すると、その物体は止まって見える。
つまり、１０ｋｍ／ｈの物体は相対速度０ｋｍ／ｈ

３．
これを、相対速度２０ｋｍ／ｈ（相対速度１０ｋｍ）に加速するには、１のエネルギー　・・・・・あれれ？

となってしまったわけです。


以上の考え方はまずいので、考え直します。

重力加速度ｇのもとで、ある高さ（ゼロとする）から物体を自由落下させることを考えます。
物体が距離ｈだけ落下した状態を考えると、
位置エネルギーは、－ｍｇｈ、
エネルギー保存則より運動エネルギーはｍｇｈ

一方、時刻をｔと置けば、
速度ｖは　ｖ＝ｇｔ、
距離ｈは、
ｈ＝∫ｖｄｔ　＝　１／２・ｇｔ^2
　＝　１／２・ｇ・（ｖ／ｇ）^2
　＝　１／２・ｖ^2／ｇ
よって、運動エネルギーｍｇｈは、
ｍｇｈ　＝　ｍｇ・１／２・ｖ^2／ｇ　＝　１／２・ｍｖ^2
（そのとき位置エネルギーは、－ｍｇｈ）

何を言いたいかといえば、
やっぱり、エネルギー（ｍｇｈ）と ｖ^2 は、比例関係にあるので、
ｖを１倍、２倍、３倍にするには、
通算で、１、３、５、７・・・・・のエネルギーが必要だということです。

No.1 回答者： chiezo2005 回答日時： 2008/03/09 17:04

その通りです。

だから，自動車のエンジンのパワーが増えても最高速度は対して上がらないのはそのためです。
時速100キロだすためには50馬力もあれば十分ですが200キロをだすためには
200馬力近いパワーがいりますよね。