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サッカーボールは次の条件で作られる。
(1)正五角形と正六角形の多面体を球状にしたものである。
(2)各々の五角形の周りは六角形に囲まれており、六角形の周りは五角形と六角形に交互に囲まれている。
(3)オイラーの多面体の定理によれば、面、頂点、辺の数の関係に「面の数 + 頂点の数 = 辺の数 + 2」の関係がある。

これから、五角形と六角形の数を求めるにはどうすればよいのでしょうか。

A 回答 (2件)

五角形の数をm、六角形の数をnとするとばらばらにした時の



辺の数  5m+6n
面の数  m+n
頂点の数 5m+6n

このうち、辺は2つが合わさって立体ができており、
頂点は3つが合わさってます。
(90度以上の角度の図形は4つ以上はあわせることができません。また、2個以下なら
頂点になりません)
これを多面体の定理に入れればmが求まります。
また、五角形が六角形に囲まれているならそのすべての辺は六角形と共有です。
そしてそれは六角形の全ての辺の半分に当たります。((2)の記述から)
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面の数, 辺の数と頂点の数に関する等式を, できる限り並べてみてください.


正五角形の数が出てくるはずです.
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Qサッカーボールの五角形が12個ある理由について

サッカーボールは6角形20枚と5角形12枚からできていますが、6角形の3辺が5角形と接しているので3×20=60辺が5角形に接していることになります。そこで60÷5=12ということで5角形が12枚あることが計算できますが、このような6角形と五角形の枚数の関係は、N角形がn枚、M角形がm枚というような関係の一例なのでしょうか。あるいはこういう関係は、これ以外には成立しないというようなことが証明されているものなのでしょうか。

Aベストアンサー

一般には Euler の公式:
(頂点数) - (辺の数) + (面の数) = 2
を使えって話になりますが,
・正五角形と正六角形だけからなる
・全ての辺は 2つの面の境界である
・全ての頂点は 3つの面の境界である
という条件を満たす場合には, 正五角形は必ず 12個となりますね.

Qサッカーボールには、

サッカーボールには、
正五角形はいくつあるか
正六角形はいくつあるか
辺はいくつあるか
頂点はいくつあるか

オイラーの多面体公式でとくみたいなのですが、
どう考えればよいか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

サッカーボール形は準正多面体のひとつで、正式には「切頂二十面体」といいます。
正二十面体の各頂点を切ってできる形です。

*サッカーボール形の作り方*
正二十面体は正三角形20個で構成されています。1つの頂点には5個の正三角形が集まっています。
その各辺の1/3となる点を結んで正二十面体の各頂点を切り落とすと、サッカーボール形ができます。
切り口が正五角形になります。
元の正三角形が正六角形になります。

つまり、サッカーボール形の正五角形の数は元の正二十面体の頂点の数と等しく、正六角形の数は元の正二十面体の面の数に等しくなります。

次に多面体の辺の数の求め方。
多面体の辺は、2つの面の辺が合わさってできていますよね。
多面体の全部の面の形と数がわかっていれば、
(多面体の辺の数)=(各面の辺の合計)÷2
となります。
(例;直方体の辺の数は、4×6÷2)

あとは、オイラーの多面体公式
(頂点の数)-(辺の数)+(面の数)=2
から、求められると思います。

Qサッカーボール 多面体の辺の数

サッカーボールの表面は、12個の正五角形と20個の正六角形で囲まれた多面体を丸くふくらませた球である。この多面体の辺の本数を求めよ。

という問題の解説のなかで、正五角形と正六角形はそれぞれ5,6個の正三角形からできているとあり、その多面体のそれぞれ真ん中に中心があり正三角形があるような図があるのですが、正六角形から6個の正三角形が作れるのはわかるのですが、正五角形からは5つの正三角形はできるでしょうか?

解説の図をみると、正六角形のきれいな正三角形より正五角形の場合中心がすこしずれた感じで
正三角形ができているのですが、これは正三角形でしょうか?

Aベストアンサー

回答からいえば正三角形になります。

正五角形の部分は正三角形5つからどうつくるかということですが、
正確には底面が正五角形の五角錘をつくっているのです。
中心がずれているのは、
ほんとうは立体だから、見る角度によってずれているからです。

------------------------------------------------
正二十面体の頂点を切り落としたものがサッカーボール状の図形になります。
作り方は、正二十面体の正三角形から3分の1サイズの頂点を切り落とします。

このとき、切り落とされた頂点は正三角形が5つ集まった正五角形になります。
残りの部分は、正三角形の頂点を切り落とした正六角形になります。

Q五角形と六角形でできているサッカーボールは数学的?

に、どこか破綻はないのでしょうか。たとえばこのような立体図形は球に内接してと言えるのでしょうか。

Aベストアンサー

「数学的」の定義がよくわからないため、破綻しているかどうかはわかりません。

Q小町算のやり方 教えて下さい。

中一の息子が、期末試験の勉強をしているのですが
わからない。と聞かれてしまい 恥ずかしながら私もどう教えて良いものか・・・困っています。教えて下さい。

次の□を求めなさい。(+・-・×・÷を使って)

例)12+3□4+5+6□7□8+9=100


答えは 順に × + ×  なのですが・・・

私も答えを見れば理解できるのですが、
やり方がわからず・・・
ひたすら掛けたり割ったりすればいいのですか?
何かコツや やり方があるのでしょうか?
どうか教えて下さい。お願いします。

そして もしかしたら この他にも違う答えがあったりするのでしょうか?

Aベストアンサー

小町算は難しいですよね。
私も数問解いたことはありますが・・・なかなか^^;
解き方はNo1さんの言うように、試すしかないです。

ただ今回の問題だと、コツのようなものとしては・・・右項が100なのでそれに数値を近づけるために、左項の6と7、または7と8に×が入るんじゃないか、と試してみることなんじゃないでしょうか? あるいは大きい数字の方から当てはめてみるというと、解き方のコツっぽく聞こえますね。
6□7□8をいじってみた後は、3と4の間には÷はまず入らなくて(小数になるから)、×・+・-のどれが入るかなっと微調整して答えとつじつまを合わせる、という算段です。

7×8を埋めると、
3□4+6□56=74になります。こうすると答えが簡単に分かりそうな気がしません?((* ̄ー+)♭
この後は、6□56には×(大きくなりすぎる)・÷(小数になる)は入らないので、+か-、56と74ではまだ差があるので、数字を大きくするために3×4と、6は+にしてみると、正解ですね^-^)b

6×7にすると、
3□4+42□8=74です。上と同様の理由で42+8にして、3×4にすると、左項は62になって、現実的な範囲で最大にしても74には届かないので答えは6×7にしたパターンにはなさそうです・・・。

と、こんな風に解いてみました。なにかしらの助けになれば、幸いですd(*´ー’)~☆

小町算は難しいですよね。
私も数問解いたことはありますが・・・なかなか^^;
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ただ今回の問題だと、コツのようなものとしては・・・右項が100なのでそれに数値を近づけるために、左項の6と7、または7と8に×が入るんじゃないか、と試してみることなんじゃないでしょうか? あるいは大きい数字の方から当てはめてみるというと、解き方のコツっぽく聞こえますね。
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