パチスロで「当選確率1/n」の時、n回試行した時の当選確率は？

たまにパチンコ屋へ行きますが、私はもっぱらスロットで遊んでいます。
各台の設定にもよりますが、「BIGボーナス」の当選確率はだいたい
1/200 ～ 1/300 ぐらいです。

各台の履歴画面を見ると、「ボーナス後 345回」等という表示がありますが、
「じゃあ、そろそろBIGが出る頃かな？」とその台を選ぶ行為は、正直言って
間違いだと思っています。
なぜなら近頃のスロットは、「確変」も「天井」も無く、ただひたすら公平な
「完全確率」を採用しているので、そうした履歴は関係ないからです。

また、「当選確率1/300がなら300回まわせばだいたい当たるんじゃないか？」という
考え方もオカシイと思います。

・当選確率1/200の時200回まわした時の当選確率Pは、
P = 1-(199/200)^200 = 0.63304…
・当選確率1/300の時300回まわした時の当選確率Qは、
Q = 1-(299/300)^300 = 0.63273…
よって、確率は約63%程度にすぎないので、「だいたい当たる」という考えは
正しくない事だと分かります。

これを一般式化し、「当選確率1/nの時、n回試行した時の当選確率Rは」を求めると、
R=1-((n-1)/n)^n
となります。
「nが∞に拡大すると、Rはある数値（多分0.632ぐらいだと思いますが）へと収束する」
という定理があるようです。

そこで、疑問なんですが、電卓やエクセルを使わずに、このRを求めるには
どのような式で求めれば良いのでしょうか？
「n→∞」や「ネイピア数e=2.72」が何かしらキーワードとなる気がします。
「1-1/e」が0.63ぐらいになるんですが、その間の式が分かりません。
数学の得意な方、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2008/04/14 09:21

ｅはlim（ｈ→０）（１＋ｈ）^（1/h)・・・（★）

と定義されています。

＞R=1-((n-1)/n)^n
これはｎ回まわして「１回以上あたる確率」です。式を簡単にするために、「１回も当らない確率」にします。これは簡単で、１からＲを引けばいい。これをｒとすると
ｒ＝((n-1)/n)^n
(n-1)/n＝1-1/nなので、　ｒ＝（１－１／ｎ）^n・・・（＊）

これは★式に似ているので、強引に★式の形に持ち込みます。
（＊）を変形すると　ｒ＝｛１＋１／（－ｎ）｝^｛（－ｎ）×（－１）｝
指数法則で、　ｒ＝［｛１＋１／（－ｎ）｝^（－ｎ）]^（－１）
ここで－ｎ＝１／ｈとおけば　　　　　　ｒ＝｛（１＋ｈ）^（1/h）｝^（－１）
ここでｎ→∞とすればｈ→０となるのでｒ→ｅ^(-1)、つまり１／ｅに近づくことが分かります。

「ｎ回まわして１回以上あたる確率R」は１－１／ｅとなります。

No.4 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/04/15 11:13

次のキーワードで調べてください。

* 二項分布
* ポアソン分布（二項分布でＮｐを一定とし、ｐ→０（Ｎ→∞）としたときの極限）

No.2 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/04/14 07:35

直接の解答ではありませんが。

> 「当選確率1/300がなら300回まわせばだいたい当たるんじゃないか？」という考え方もオカシイと思います。
300回まわせば1回も当たらないことはないんじゃないか？という意味なら間違いですが、1回くらい当たるのではないか？という意味なら正しいのではないかと思います。「1回も当たらないことはない」には1回当たるだけではなく、2回当たる、3回当たる．．．300回当たるも含まれているからです。300回まわしたときの当たる回数の期待値は1回だと思います。
間違っているのは、「1回くらい当たるのでは？」を「1回も当たらないことはないのでは？」と同じだと思ってしまいがちなところにあるのではないでしょうか。

300回をどんどん越えて回していけば、1回も当たらない確率はどんどん0に近づいていきます。
300回を大きく越えて回せば、当たった回数は「回した回数/300」に近づいていくと思います（確率1/300ですから当たり前ですが）。

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2008/04/14 07:10

この辺りで。

。。

確率が1/nでn回まわした時に1回も当たらない確率は
1/e
に近似されます。よって少なくとも1回は当たる確率が
1 - 1/e
となります。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3397001.html