ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

フェルミ・ディラックの分布関数は
f(E)=1/{exp(E-EF/kT)+1}である。
1)Ef/k=5×10^4、T=5×10^2K とするならば -∂f/∂E と E/k の関係をグラフに書け。
2)E=Ef+δ とすると
  f(δ)=1-f(-δ) である。これを証明せよ。

1)は f(E) を微分して ∂f/∂E=-1/4kT まではできたんですけど、そこからどうやったらいいのかわかりません。
固体物理学の本を見ても証明とかは省いてあってできないんです。
どちらかひとつだけでもいいので教えてください。お願いします。

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A 回答 (7件)

追加の参考まで



(2)の考え方
これは、(E-Ef)の関数だからEf を定数と思えば、
E-Ef=δ、δが変数だから、
F(E-Ef)≡F(±δ)と書き表せますね。
F(+δ)={1/exp(δ/kT)+1}
F(-δ)={1/exp(-δ/kT)+1}

1-F(-δ)=
1-{1/exp(-δ/kT)+1}= exp(-δ/kT)/exp(-δ/kT)+1
両辺を=exp(-δ/kT)で割ると、
=1/1+{1/exp(-δ/kT)}={1/exp(δ/kT)+1}=F(+δ)
になるね。{(1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。}
だから, F(+δ)=1-F(-δ) は正しいね。

この回答への補足

回答ありがとうございました。
>{(1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。}
というのがよくわからないんですけれども教えていただけたら嬉しいです。
勉強不足ですみません。よろしくお願いします。

補足日時:2002/11/06 14:53
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siegmund です.



> EFにおける ∂f/∂E の値は -1/4kT ではないんですか?
> フェルミ準位の熱平衡状態における電子の存在確立が1/2だから E=EF と代入したんですけど。

問題は
> -∂f/∂E と E/k の関係をグラフに書け。
ですよね.
f が E の関数であるのと同様な意味で,-∂f/∂E も E の関数です.
f と E のグラフを描くときに
No.2 の私の回答の図の※の値(1/2)だけ出しておしまいにしますか?
そうはしないですよね.
-∂f/∂E についても全く同じことです.
E の関数とみなしてグラフを描かなくっちゃ.
No.4 の phbs さんの前半と同趣旨です.

>>{(1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。}
> というのがよくわからないんですけれども教えていただけたら嬉しいです。

ひょっとして,2^(-2) = 1/(2^2) などがわかっていない?
もともと,べき乗は自然数に対してのみ意味がありました.
で,べき乗の定義から指数法則
(1)  2^m / 2^n = 2^(m-n)
が出てきますが,
これも本来は m>n であるような自然数 m,n に対してのみ意味がありました.
この法則がもっと広い m,n に対して成り立つように
(2)  2^0 = 1     (m=n に相当)
(3)  2^(-k) = 1/(2^k) (m<n に相当)
と拡張して定義したのです.
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この回答へのお礼

指数関数も数字で書いてあると理解できるんですが。今度からは自分で数字を代入してやってみようかと思っています。
わかりやすく回答していただいてありがとうございました。

お礼日時:2002/11/09 15:14

まあ、指数関数の微分ができる人なら指数関数の計算は一から説明しなくても


分かるだろう、と思ってああいう簡単な注意を喚起しただけの書き方にしたん
ですよ。

逆に言えば指数関数の微分ができるのに計算ができないという人がいたら理解
の仕方として何かが決定的におかしいでしょう。
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phbsさんの指摘もわかるけど、わからないものはわからないんだよね。



>{(1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT) だからだね。}
というのがよくわからないんですけれども教えていただけたら嬉しいです。
勉強不足ですみません。よろしくお願いします。
回答:
指数の計算方法なのよ。 1/10=10^(-1) 1/100=10^(-2)が指数の
書きかたなんよ。だからね、exp(-δ/kT)=e^(-δ/kT)=1/e^(δ/kT)
をひっくり返すと 1/e^(-δ/kT)=e^(δ/kT)になるね。
ということです。
わかったかな。
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この回答へのお礼

わかりました。そういうことだったんですね。
簡単な数字の計算なら指数計算もできるんですけど、文字がいっぱいでてくると混乱してきちゃって。
詳しく教えていただいて本当にありがとうございました。

お礼日時:2002/11/09 15:10

なんでE=E_Fの値を代入するのにこだわるのかよく分かりませんが。


書きたいのはつまり E 対 - ∂f/∂Eのグラフでしょう。

例えて言うなら y=x^2の微分dy/dxのグラフを書けという問題に
「でも dy/dx=2x にx=1を代入したら2になるじゃないですか」
というようなもので。確かにそうだけど問題は y=2xのグラフを書け
ということでしょう。

1/exp(-δ/kT)=exp(δ/kT)になるのは指数関数の定義だとしか言いようがありません。多分わざわざ問題を難しく考えていると思います。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
-1/4kT というのがEFにおける ∂f/∂E の値になると聞いたのでその答えにするにはE=E_Fにしないと解けないので代入したんです。
わかりにくくてすみませんでした。

お礼日時:2002/11/09 15:05

1) phbs さんの言われるとおり,結果がちょっと変ですね.


単純な計算間違いと言うよりは,∂f/∂E に E=EF を代入しちゃっていませんか?
直接計算で
(a)  ∂f/∂E = - (1/kT) exp[(E-EF)/kT] / {exp[(E-EF)/kT] + 1}^2
ですから,(a)で E=EF とすると -1/4kT になります.

2) これも phbs さんの言われるとおりです.

f(E)

 1─────
       \
        \
         ※
          \
           \
 0          ────
         EF     → E 
         0     → δ


どの統計力学(あるいは固体物理学)のテキストにもあるでしょうが,
フェルミ・ディラックの分布関数は上のような形をしています.
(本当は角のところがなまっています)
f(E) はちょうど E=EF のところで f=1/2 になっていて(※のところ)
この点を中心として点対称の形になっています.
変数をδに直して
(b) f(E) = 1/{exp(E-EF/kT)+1}= 1/{exp(δ/kT)+1}
としたものをあらためて f(δ) と書いています.
厳密な関数記号の使い方からすれば,違う関数記号を使って g(δ) とでも書くべきですね.
f(δ) と書くと,もともとの f(E) の E のところに忠実にδを代入したもの,
という意味になっちゃいますから.
でも,数学以外では(?),変数を書き換えたのに同じ関数記号をそのまま使うというのは
日常茶飯事です.
どちらを意味しているかは,( )の中身で区別がつきますから.

phbs さん,二番煎じで失礼しました.

この回答への補足

回答ありがとうございました。
EFにおける ∂f/∂E の値は -1/4kT ではないんですか?
フェルミ準位の熱平衡状態における電子の存在確立が1/2だから E=EF と代入したんですけど。
どうやったらいいのかわからないので教えてください。
お願いします。

補足日時:2002/11/06 14:19
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1)は 1/f(x)の微分は- f'(x)/f(x)^2なので計算間違いじゃないでしょうか。


   フェルミディラックの分布関数のおおまかな形はどの統計力学の教科書
   にもあるので 接線の傾きが微分であるという基本に立ち返れば微分の
   おおまかな形も書けるはずです。
2)は E-E_Fを原点と取りなおして f(δ)=1/[exp(δ/kt)+1]とするというよう
   な題意ではないかと思います(違ってたらごめん)。そうだとするなら
   この証明はただ計算すれば f(δ)+f(-δ)=1 が示せます。

この回答への補足

EFにおける ∂f/∂E の値は -1/4kT ではないんですか?
フェルミ準位の熱平衡状態における電子の存在確立が1/2だから E=EF と代入したんですけど。
どうやったらいいのかわからないので教えてください。
お願いします。

補足日時:2002/11/06 14:01
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
まだよくわからないので補足させてもらいました。

お礼日時:2002/11/06 14:21

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Qフェルミディラック分布関数の見方を教えて欲しいです

フェルミ・ディラック分布関数f(E)=1の時、粒子がある状態になる確率が100%で、f(E)=0の時はその状態になる確率は0%というような意味だと思うのですが、まだ曖昧ではっきり理解できていません。

下の図はキッテル固体物理の本の図です。例えばこのグラフから何を読み取る事が出来るのですか?温度が上がるとエネルギーEが低い状態でもf(E)が下がっていくので、ある状態になる確率が低くなるという事だと思いますが、具体的に何の粒子が何の状態になる確率の事を示しているのでしょうか。本文を読んでもそれらしい説明が書いてないような気もしますし、全体的に何の事を言ってるのかよく分かりませんでした。まずこれはある1種類の1つの粒子の状態に対してなのか、ある1種類の粒子の集団の統計的な物のどちらでしょうか。

フェルミ・ディラック分布関数の縦軸の確率は何の粒子の何になる確率ですか?どなたか教えて欲しいです。

Aベストアンサー

エントロピー増大の法則により、自然はエネルギーの低い方に移行していきます。

対象としている系で許されるエネルギーをまず考えます。
フェルミディラック分布関数というだけあって、対象としている粒子はフェルミ粒子であることが前提です。
フェルミ粒子とは、全く同じエネルギー値には1つの座席しかないものを指し、そこが占領された場合には他の同種粒子は他の座席に落ち着くしかないということになります。(反対に、同じエネルギー値にいくつも同種粒子が締められる粒子をボーズ粒子です)

さて、フェルミ粒子は絶対零度の時はエネルギーの低いところから順に占めていき、あるエネルギー(=フェルミエネルギー)までをすべて占めることができます。
(表面張力のない水が試験管の底から水面までぴっちり占めているようなイメージ)

では温度が上がるとどうなるか?
温度はkBT(kB:ボルツマン定数、T:温度)というエネルギーが存在するため、フェルミ粒子にそのエネルギーが与えられて、特定のエネルギーの粒子が励起します。当然、エネルギーが低い方から詰まっている絶対零度の時と比べて、エネルギーが高い状態に弾き飛ばされる粒子は多くなります。
温度が高ければ高いほどkBTの値は大きくなるので、よりエネルギーに励起する粒子が多くなります。
つまり温度が高くなると熱エネルギーを受けてしまうために、低いエネルギーに落ち着いていられなくなっていくという意味があります。

これを統計をとって表したのがフェルミディラック分布関数です。


>フェルミ・ディラック分布関数の縦軸の確率は何の粒子の何になる確率ですか?どなたか教えて欲しいです。

確率密度関数と呼ばれますので、対象としているエネルギーEとE+dEの間に粒子が存在する確率を表しています。

フェルミ粒子
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E7%B2%92%E5%AD%90

エントロピー増大の法則により、自然はエネルギーの低い方に移行していきます。

対象としている系で許されるエネルギーをまず考えます。
フェルミディラック分布関数というだけあって、対象としている粒子はフェルミ粒子であることが前提です。
フェルミ粒子とは、全く同じエネルギー値には1つの座席しかないものを指し、そこが占領された場合には他の同種粒子は他の座席に落ち着くしかないということになります。(反対に、同じエネルギー値にいくつも同種粒子が締められる粒子をボーズ粒子です)

さて、フェル...続きを読む

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q真性キャリア密度niの計算に関して

半導体工学のテキストに載っている真性キャリア密度の計算ですが
下式が有名ですが、この式と下記のパラメータを使って計算をすると、テキストに書いてある値(1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3)と違っています。

式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)
ni=√(2.8×10^19×1.02×10^19)×exp(-1.12×1.6×10^-19/2×1.38×10^-23×300)

パラメータ
Nc=2.8×10^19
Nv=1.02×10^19
q=1.6×10^-19
Eg=1.12
k=1.38×10^-23
T=300

計算過程は間違いないと思いますが、1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3の値になりますでしょうか?

Aベストアンサー

昨日から、誰か回答してくれないかなぁと待っていましたが、なかなか現れないので、私が書くことにしました。
しかし、ずいぶん昔のことなので、自信がありませんので、違っているかもしれません。
たぶん次のところではないかと思うんですが。

>式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)

上式は、PN積のni^2が一定となると言うことから、平方根をとっているのではないかと推測します。
この式のNcとNvがありますが、これは伝導帯中の電子の密度と価電子帯中のホール密度の定数部分ですよね。

ですが、
>テキストに書いてある値(1.5×10^10 /cm^3または、1.45×10^10 /cm^3)

この値は、伝道帯中の自由電子密度だけの値ではないでしょうか?
そう考えて、計算してみると、質問にあるパラメーターを用いて計算しても、1.5×10^10 /cm^3程度の値になります。

計算式は、
ni=Nc×exp(-Eg*q/2*kT)
です。

蛇足ですが、常温(T=300[K])のときのkTの値は、[eV]で表すと、約0.026[eV]となりますので、大雑把に計算するときはこの方が便利です。
ni=Nc×exp(-Eg/2*0.026)

昨日から、誰か回答してくれないかなぁと待っていましたが、なかなか現れないので、私が書くことにしました。
しかし、ずいぶん昔のことなので、自信がありませんので、違っているかもしれません。
たぶん次のところではないかと思うんですが。

>式 ni=√(Nc*Nv)*exp(-Eg*q/2kT)

上式は、PN積のni^2が一定となると言うことから、平方根をとっているのではないかと推測します。
この式のNcとNvがありますが、これは伝導帯中の電子の密度と価電子帯中のホール密度の定数部分ですよね。

ですが、
>テキ...続きを読む


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