痔になりやすい生活習慣とは?

確率の問題の質問です。


箱に赤い玉が3個と白い玉が7個入っている。玉を無造作に1個ずつ取り出していくとき、ちょうど5回目に3つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか。(解答:1/20)

テキストの解説

段階1
赤、白あわせて10個の玉から、赤い玉を3個取り出す組み合わせは
10C3で、120通り。

段階2
ちょうど5回目に赤い玉を取り出す場合の数は、4個目までに赤い玉2個、白い玉2個を並べ、5個目に赤い玉、6個目からは全て白い玉を並べることになる。よって、4C2=6通り。

求める確率は6/120=1/20 という解説でした。


段階2で引っかかっています。4C2、この式ですと、4個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後5個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか?」「これだけでいいの?」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの?」と頭を抱え込んでしまいます。

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A 回答 (9件)

ANo.4です。



> 今回記していただいた解説に対する疑問点は、「十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので」の箇所です。偶数は4つ中2つしかなく、すでに一の位で偶数を1つ使っているのだから残された偶数は
> 1つだけなはずなのに、なぜ「×3」なのだろう?という点です。
> 2 × 3 = 6通り の式ですと、奇数も含んでしまうことになりますよね。なぜなら、偶数は3つもないからです。

そうです。十の位は奇数を含みます。
問題文は「2桁の数字が偶数になるのは何通りか?」です。
十の位が奇数でも、一の位が偶数なら数全体は偶数になります。
(12や14や32や34は偶数ですよね。)
十の位に使えるのは、「残された偶数のカード1枚」と「奇数のカード2枚」で合計3枚です。
だから×3です。

> しかし、問いでははっきりと、「ちょうど5回目に3つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか」となっています。だから、5回目に白い玉がくる可能性をひかないテキストの解説に、「これだけでいいの?もっと他にも計算することがあるんじゃないの?」と感じています。

ANo.6さんの回答へのお礼を見ると、
この点に関しては答えなくても大丈夫そうです。

> 場合というのは、この条件に該当するケースのみを指している、ということとは違うのですか。僕が使用しているテキストには、nCrの式は、「組み合わせ」という言葉で解説されています。

nCrの「組み合わせ」も、nPrの「順列」も、どちらも場合の数です。
「場合の数」という大きな枠組みの中に、「組み合わせ」と「順列」があるんです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>この点に関しては答えなくても大丈夫そうです。

おかげさまでなんとか大丈夫そうです。あの問題に限って言えば…。


***********************************************
1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつある。
この中から2枚選んで並べ、2桁の数字をつくる。
2桁の数字が偶数になるのは何通りか?
***********************************************

今度はこっちがこんがらがってしまいました。

12 14 
24
32 34
42

の6つがあり、これが正解なわけですね。で、これを式で計算して求めることはたいへん難しいと感じています。

テキストで、「1,2,3の並び順を求めろ→3×2×1=6通り」というのを教わりました。よって、確率ではなく並び順ということを意識して今改めてこの問題を解こうとすると、十の位の可能性×一の位の可能性という視点で解こうとしてしまい、一体どの数字が適切かわからなかったのです。「4×2」とか、色々混乱していました。

R_Earlさんは、「一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる」ということに真っ先に着眼し、「一の位の可能性×十の位の可能性」として、計算されているわけですね。

これはとても大変な作業です。なぜなら、「一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる」ということに気付き、それにしたがって2×3という式を思いつくのは、とても複雑だと思うからです。

僕の場合、
(1×2)+(1×1)+(1×2)+(1×1)と、ちまちま解くほうが性に合っているみたいです(この解き方でも大丈夫ですよね?)。

勉強しても勉強しても、ほんのちょっとでも内容を変えられると、すぐわからなくなってしまうからイヤになっちゃいますね(^_^;)。

お礼日時:2008/05/05 21:32

> 分母となる計10個の玉の並び方を求める→10!/7!×3!


合っています。ただ、この掲示板のようにテキストでしか表示できない場合、10!/(7!*3!)と括弧を使わないと(10!/7!)*3!と区別がつかないので注意してください。

> (4!/2!×2!)×(1!×1!)×(5!×5!)=6
書き間違いがありますが、合っています。
{4!/(2!*2!)}*(1!/1!)*(5!/5!)です。

これらの計算は、玉の並べ方で考えていると思います。すべての玉を区別して並べる並べ方が10!通りあり、そのうち白玉は入れ替わっても同じことなので7!で割り、赤玉も入れ替わっても同じことなので3!で割るという計算です。
これに対し、解説に出てくる10C3は、玉を置く場所が10ヶ所あり、その中から3ヶ所赤玉を置く場所を選ぶという考え方です。
どちらで考えてもよいと思いますが、両方出来るようにするとよいと思います(まずは計算が簡単そうな方でやって、時間があったら検算のときに面倒そうな方で確かめるとか)。
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この回答へのお礼

この解き方であっているとのこと、安心しました。しかし、今回この問題の解き方がわかったというのは、この問題に限っての話であり、またちょっとでもパターンを変えられると、もうどうしたらよいかわからず困ってしまうでしょう…。

復習を頑張ります。ありがとうございました。

お礼日時:2008/05/05 21:14

> だからこそ、5回目に3個目の赤が取り出される確率を、キチンと求めるべきだと感じています。

それを求めずにでた答えは、5回目に3個目の赤が取り出されるパターン以外の確率も含まれていると思うからです。

皆さんがおっしゃるとおり、場合の数を求めるのと確率を求めることの違いを根本的に理解できていないようだ。もしくは混乱。

解説の段階1も段階2も求めているのは場合の数であって、確率ではない。
段階1は全ての場合の数。これには、何でもかんでも全ての場合が数えられている。
段階2は、問題となっている事象、即ち、4回目までに2個の赤が出て、5回目に赤が出る場合の数だ。
故に、求める確率は、(段階2の場合の数)/(段階1の場合の数) である。

質問者が言うように、5回目に赤が出る確率をちゃんと求めたいということなら、4回目までに2個の白が取り出される(場合の数ではなくて)確率を求めて、それに、5回目に赤が出る確率をかければよい。
4回目までに2個の赤が取り出される確率は 3/10 (4C2ではない。なぜこうなるかは自分できちんと計算されたし)。
このとき、残りの玉は赤が1個、白が5個だから、5回目に赤を取り出す確率は 1/6。
よって、3/10 × 1/6 = 1/20 が求める確率となる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。


確率→条件に該当するケース/起こりうる全てのケース…ですよね。
場合というのは、この条件に該当するケースのみを指している、ということとは違うのですか。僕が使用しているテキストには、nCrの式は、「組み合わせ」という言葉で解説されています。

>4回目までに2個の赤が取り出される確率は 3/10 (4C2ではない。なぜこうなるかは自分できちんと計算されたし

1.
2個の赤、2個の白が選ばれることになるので、赤赤白白を基準に考えた場合、3/10×2/9×7/8×6/7=1/20

2.
赤赤白白をはじめ、これを含めた並び順は4!/2!×2!、もしくは4C2で、全部で6通り

3.
1/20×6=3/10

という風に考えましたが、いかがでしょうか。

お礼日時:2008/05/04 22:05

> しかし、問いでははっきりと、「ちょうど5回目に3つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか」となっています。


> だから、5回目に白い玉がくる可能性をひかないテキストの解説に、「これだけでいいの?もっと他にも計算することがあるんじゃないの?」と感じています。
やっぱり、確率と場合の数を混同していると思います。元の問題で求められているのは確率ですが、解説のその部分で求めているのは場合の数です。

ご質問の問題の解説の場合、段階1はすべての場合の数を求めています。
段階2は
> ちょうど5回目に赤い玉を取り出す場合の数は、4個目までに赤い玉2個、白い玉2個を並べ、5個目に赤い玉、6個目からは全て白い玉を並べる
これの場合の数を求めています。そしてそれは省略せずに書けば、4C2*1C1*5C5=6(通り)です。5個目が赤い玉である場合の数を求めているのです。5個目が赤い玉である確率を求めているのではありません。

サイコロを1回振ったときに1が出る確率を考えてみてください。すべての場合の数は6通り(段階1)で、1が出る場合の数は1通り(段階2)です。従って求める確率は1/6です。
段階1も段階2も求めているのは確率ではなく場合の数です。

ご質問で、
> 必ず赤が来るなんて断言できませんよね
と書かれていますが、断言できます。5個目が赤である“場合”の数を求めているからです。5個目が赤である場合だけを考えているのですから、5個目は必ず赤です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>省略せずに書けば、4C2*1C1*5C5=6(通り)
>5個目が赤である“場合”の数を求めているから

省略、というのにショックを受けました。僕は今まではじめの4つのうち、赤玉が2個(結果的に同時に白玉2個)並ぶ配列についてだけを計算しているのかと思っていました。しかし、その後のことについても、計算していないのではなく、省略してあっただけ、ということなのでしょうか。

改めて自分で考えて解いてみました。

1.
分母となる計10個の玉の並び方を求める→10!/7!×3!

2.
次は分子。はじめの4つの赤玉2個、白玉2個の並び順を求める必要がある。さらに、5個目が赤となる計算、そして、残りの5つが赤で埋まる配列を計算する必要がある。

(4!/2!×2!)×(1!×1!)×(5!×5!)=6

答えは6/120=1/20となりました。

この式をたてた考え方はあっていますでしょうか。  

お礼日時:2008/05/04 21:49

何故か回答を受け付けなかったのでもう1度投稿してみます。


2重投稿になっていたらすみません。

> もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか?」「これだけでいいの?」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの?」と頭を抱え込んでしまいます。

私も一時期同じような状況に陥りました。
おそらく、「確率の考え方」と「場合の数の考え方」が
ごちゃごちゃになっているのだと思います。

> 段階2で引っかかっています。4C2、この式ですと、4個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後5個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

4C2は確率ではありません。場合の数です。
まず、ここがきちんと把握できていないのではないでしょうか(私がそうだったので)。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか?」
を計算しているんです。
段階2は確率の問題ではなく、場合の数(組み合わせ)の問題を解いているだけです。
(段階1も、確率じゃなくて場合の数を求めています。)
何度も言いますが、段階2では最初に、場合の数を求めているだけです。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか?」
を計算しているんです。
確率を計算しているのは最後の分数の部分だけです。

例えば、こんな問題があったとします。
***********************************************
1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつある。
この中から2枚選んで並べ、2桁の数字をつくる。
2桁の数字が偶数になるのは何通りか?
***********************************************

解答はこうなります。
***********************************************
一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる。
よって一の位は「2」か「4」の2通り、
十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので
2 × 3 = 6通り
***********************************************

この解説に対し、
***********************************************
一の位に必ず「2」か「4」が来るなんて
断言できないじゃないですか。
一の位には「1」や「3」が来る可能性だって
あるじゃないですか。
***********************************************

と反論してきた人がいたとします。
この反論の間違っている点を指摘できるなら、
下の質問者さんの発言の中の「誤っている点」に気付けるはずです。

> 4C2、この式ですと、4個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後5個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。
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> もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか?」「これだけでいいの?」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの?」と頭を抱え込んでしまいます。



私も一時期同じような状況に陥りました。
おそらく、「確率の考え方」と「場合の数の考え方」が
ごちゃごちゃになっているのだと思います。

> 段階2で引っかかっています。4C2、この式ですと、4個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後5個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

4C2は確率ではありません。場合の数です。
まず、ここがきちんと把握できていないのではないでしょうか(私がそうだったので)。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか?」
を計算しているんです。
段階2は確率の問題ではなく、場合の数(組み合わせ)の問題を解いているだけです。
(段階1も、確率じゃなくて場合の数を求めています。)
何度も言いますが、段階2では最初に、場合の数を求めているだけです。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか?」
を計算しているんです。
確率を計算しているのは最後の分数の部分だけです。

例えば、こんな問題があったとします。
***********************************************
1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつある。
この中から2枚選んで並べ、2桁の数字をつくる。
2桁の数字が偶数になるのは何通りか?
***********************************************

解答はこうなります。
***********************************************
一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる。
よって一の位は「2」か「4」の2通り、
十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので
2 × 3 = 6通り
***********************************************

この解説に対し、
***********************************************
一の位に必ず「2」か「4」が来るなんて
断言できないじゃないですか。
一の位には「1」や「3」が来る可能性だって
あるじゃないですか。
***********************************************

と反論してきた人がいたとします。
この反論の間違っている点を指摘できるなら、
下の質問者さんの発言の中の「誤っている点」に気付けるはずです。

> 4C2、この式ですと、4個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後5個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>まず、ここがきちんと把握できていないのではないでしょうか
とありますが、そのようです。なぜなら、例題に挑戦したときに

十の位で偶数がでる確率は2/4。
一の位で偶数がでる確率は1/3。
よって、答えは2/4×1/3=1/6

という風に考えたからです。

今回記していただいた解説に対する疑問点は、「十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので」の箇所です。偶数は4つ中2つしかなく、すでに一の位で偶数を1つ使っているのだから残された偶数は
1つだけなはずなのに、なぜ「×3」なのだろう?という点です。
2 × 3 = 6通り の式ですと、奇数も含んでしまうことになりますよね。なぜなら、偶数は3つもないからです。

僕の考えとしては、一の位に必ず「2」か「4」が来るなんて断言からこそ、2/4としたつもりです。

>「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか?」を計算しているんです。

しかし、問いでははっきりと、「ちょうど5回目に3つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか」となっています。だから、5回目に白い玉がくる可能性をひかないテキストの解説に、「これだけでいいの?もっと他にも計算することがあるんじゃないの?」と感じています。

お礼日時:2008/05/04 08:28

解説でも別に「5回目に必ず赤が来る」なんてことは言ってないし、5回目が白になることを否定なんかしていない。



問題に、「5回目に3個目の「赤」を取り出す確率を求めよ」と書いてあるだろう。
4回目までに2個の赤が取り出され、その上で、5回目に取り出されるのは白かもしれないし、赤かもしれないが、求めたいのは5回目に「赤」を取り出す場合の数なんだから、それを忠実に計算しているだけ。4回目までに2個の赤が取り出される場合の数は 4C2 で、その上で5回目に(3個目の)赤が取り出された場合には、それ以降の玉の取り出し方は1通り(全部白)しかないと言っているだけだ。この確率(5回目の3個目の赤を出す)を計算したいんだから、5回目に白を取り出す場合の数を議論する必要なんか微塵もないから議論していないだけのこと。

もう一度落ち着いて説明をよーく読むんですな。
しかし・・・変な解説。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>「5回目に3個目の「赤」を取り出す確率を求めよ」

つまり、求めなければならないのは、5回目に赤がくる確率であって、白ではない、ということですよね。5回目に白がくるということは、赤を取り出す確率にはなりません。

>5回目に(3個目の)赤が取り出された場合には、それ以降の玉の取り出し方は1通り(全部白)しかないと言っているだけだ。

だからこそ、5回目に3個目の赤が取り出される確率を、キチンと求めるべきだと感じています。それを求めずにでた答えは、5回目に3個目の赤が取り出されるパターン以外の確率も含まれていると思うからです。

お礼日時:2008/05/04 08:16

この解説の考え方は「玉を取り出して並べてみよう」としているようですね。

つまり、玉を全部並べることを考えているのですね
段階1は赤い玉が3個と白い玉が7個合計10個を並べる
段階2は4番目までは赤い玉2個と白い玉2個を並べ5番目は赤い玉を並べ6番目から10番目は白い玉を並べる並べ方を考えているようですね。
これだと5番目から10番目までは並べ方は1通りしかありません。
つまり、5番目は赤で6から10番目までは全部白である場合だけを考えているのです。それが問題の要求です。
こんなところでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>4番目までは赤い玉2個と白い玉2個を並べ
ここまではわかります。

>5番目から10番目までは並べ方は1通りしかありません。
ここがわかりません。

赤・白・白・白・白・白
白・赤・白・白・白・白
白・白・赤・白・白・白
白・白・白・赤・白・白
白・白・白・白・赤・白
白・白・白・白・白・赤

並び方を考えると、6通りもありますよね。つまり、4個目に赤玉を
2個並べる確率を求めても、今度はその後に、5個目に赤が来て、白がこない確率も、計算する必要があると、感じています。その計算をせずに求められた答えは、赤が5個目でないというパターンも含まれている、ということになると思うからです。

お礼日時:2008/05/04 08:11

>その後5個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。

白が来る可能性だって十分あるのです。

だから段階1で、赤3つの組み合わせをもとめてるんじゃないですか。

そのうち最初の4個まで赤2個だしたとする
段階2と段階1をかけ合わせて、
5個目の白を排除してるのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>最初の4個まで赤2個だしたとする

テキストの解説では、そこまでしか求められないですよね。

5個目に白が来るという可能性を引いていないから、この式で求められる答えは、「5回目に3つ目の赤い玉を取り出す確率」にはならないと思います。ひょっとしたら、3つ目の赤い玉は、一番最後にでるかもしれないですよ。

お礼日時:2008/05/04 08:06

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・ 1回目に赤を引く確率は、10個中4個なので、4/10

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  2回目に赤を引く確率は、9個中3個。 3/9

したがって、両方赤を引く確率は、4/10 × 3/9 = 12/90

【両方白の場合】
・ 1回目に白を引く確率は、10個中6個なので、6/10

・ 2回目を引きますが、このとき全部の玉は9個になっています。そして残っている白は5つですから、
  2回目に白を引く確率は、9個中5個。 5/9

したがって、両方白を引く確率は、6/10 × 5/9 = 30/90


両方赤、両方白の確率を合計すると、12/90 + 30/90 = 42/90 = 7/15

答えは 15分の7。

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