確率の問題

確率の問題の質問です。

問
箱に赤い玉が３個と白い玉が７個入っている。玉を無造作に１個ずつ取り出していくとき、ちょうど５回目に３つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか。（解答：１／２０）

テキストの解説

段階１
赤、白あわせて１０個の玉から、赤い玉を３個取り出す組み合わせは
１０Ｃ３で、１２０通り。

段階２
ちょうど５回目に赤い玉を取り出す場合の数は、４個目までに赤い玉２個、白い玉２個を並べ、５個目に赤い玉、６個目からは全て白い玉を並べることになる。よって、４Ｃ２＝６通り。

求める確率は６／１２０＝１／２０　という解説でした。


段階２で引っかかっています。４Ｃ２、この式ですと、４個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか？」「これだけでいいの？」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と頭を抱え込んでしまいます。

No.1 回答者： noname#64531 回答日時： 2008/05/03 19:34

＞その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。

白が来る可能性だって十分あるのです。

だから段階１で、赤３つの組み合わせをもとめてるんじゃないですか。

そのうち最初の４個まで赤２個だしたとする
段階２と段階１をかけ合わせて、
５個目の白を排除してるのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞最初の４個まで赤２個だしたとする

テキストの解説では、そこまでしか求められないですよね。

５個目に白が来るという可能性を引いていないから、この式で求められる答えは、「５回目に３つ目の赤い玉を取り出す確率」にはならないと思います。ひょっとしたら、３つ目の赤い玉は、一番最後にでるかもしれないですよ。

お礼日時：2008/05/04 08:06

No.2 回答者： fukuda-h 回答日時： 2008/05/03 19:59

この解説の考え方は「玉を取り出して並べてみよう」としているようですね。

つまり、玉を全部並べることを考えているのですね
段階１は赤い玉が３個と白い玉が７個合計１０個を並べる
段階２は４番目までは赤い玉２個と白い玉２個を並べ５番目は赤い玉を並べ６番目から１０番目は白い玉を並べる並べ方を考えているようですね。
これだと５番目から１０番目までは並べ方は１通りしかありません。
つまり、５番目は赤で６から１０番目までは全部白である場合だけを考えているのです。それが問題の要求です。
こんなところでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞４番目までは赤い玉２個と白い玉２個を並べ
ここまではわかります。

＞５番目から１０番目までは並べ方は１通りしかありません。
ここがわかりません。

赤・白・白・白・白・白
白・赤・白・白・白・白
白・白・赤・白・白・白
白・白・白・赤・白・白
白・白・白・白・赤・白
白・白・白・白・白・赤

並び方を考えると、６通りもありますよね。つまり、４個目に赤玉を
２個並べる確率を求めても、今度はその後に、５個目に赤が来て、白がこない確率も、計算する必要があると、感じています。その計算をせずに求められた答えは、赤が５個目でないというパターンも含まれている、ということになると思うからです。

お礼日時：2008/05/04 08:11

No.3 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/05/04 01:00

解説でも別に「５回目に必ず赤が来る」なんてことは言ってないし、５回目が白になることを否定なんかしていない。

問題に、「５回目に３個目の「赤」を取り出す確率を求めよ」と書いてあるだろう。
４回目までに２個の赤が取り出され、その上で、５回目に取り出されるのは白かもしれないし、赤かもしれないが、求めたいのは５回目に「赤」を取り出す場合の数なんだから、それを忠実に計算しているだけ。４回目までに２個の赤が取り出される場合の数は 4Ｃ2 で、その上で５回目に（３個目の）赤が取り出された場合には、それ以降の玉の取り出し方は１通り（全部白）しかないと言っているだけだ。この確率（５回目の３個目の赤を出す）を計算したいんだから、５回目に白を取り出す場合の数を議論する必要なんか微塵もないから議論していないだけのこと。

もう一度落ち着いて説明をよーく読むんですな。
しかし・・・変な解説。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞「５回目に３個目の「赤」を取り出す確率を求めよ」

つまり、求めなければならないのは、５回目に赤がくる確率であって、白ではない、ということですよね。５回目に白がくるということは、赤を取り出す確率にはなりません。

＞５回目に（３個目の）赤が取り出された場合には、それ以降の玉の取り出し方は１通り（全部白）しかないと言っているだけだ。

だからこそ、５回目に３個目の赤が取り出される確率を、キチンと求めるべきだと感じています。それを求めずにでた答えは、５回目に３個目の赤が取り出されるパターン以外の確率も含まれていると思うからです。

お礼日時：2008/05/04 08:16

No.4 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/05/04 02:10

> もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか？」「これだけでいいの？」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と頭を抱え込んでしまいます。

私も一時期同じような状況に陥りました。
おそらく、「確率の考え方」と「場合の数の考え方」が
ごちゃごちゃになっているのだと思います。

> 段階２で引っかかっています。４Ｃ２、この式ですと、４個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

4C2は確率ではありません。場合の数です。
まず、ここがきちんと把握できていないのではないでしょうか（私がそうだったので）。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか？」
を計算しているんです。
段階2は確率の問題ではなく、場合の数(組み合わせ)の問題を解いているだけです。
（段階1も、確率じゃなくて場合の数を求めています。）
何度も言いますが、段階2では最初に、場合の数を求めているだけです。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか？」
を計算しているんです。
確率を計算しているのは最後の分数の部分だけです。

例えば、こんな問題があったとします。
***********************************************
1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつある。
この中から2枚選んで並べ、2桁の数字をつくる。
2桁の数字が偶数になるのは何通りか？
***********************************************

解答はこうなります。
***********************************************
一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる。
よって一の位は「2」か「4」の2通り、
十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので
2 × 3 = 6通り
***********************************************

この解説に対し、
***********************************************
一の位に必ず「2」か「4」が来るなんて
断言できないじゃないですか。
一の位には「1」や「3」が来る可能性だって
あるじゃないですか。
***********************************************

と反論してきた人がいたとします。
この反論の間違っている点を指摘できるなら、
下の質問者さんの発言の中の「誤っている点」に気付けるはずです。

> ４Ｃ２、この式ですと、４個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞まず、ここがきちんと把握できていないのではないでしょうか
とありますが、そのようです。なぜなら、例題に挑戦したときに

十の位で偶数がでる確率は２／４。
一の位で偶数がでる確率は１／３。
よって、答えは２／４×１／３＝１／６

という風に考えたからです。

今回記していただいた解説に対する疑問点は、「十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので」の箇所です。偶数は４つ中２つしかなく、すでに一の位で偶数を１つ使っているのだから残された偶数は
１つだけなはずなのに、なぜ「×３」なのだろう？という点です。
2 × 3 = 6通り　の式ですと、奇数も含んでしまうことになりますよね。なぜなら、偶数は３つもないからです。

僕の考えとしては、一の位に必ず「2」か「4」が来るなんて断言からこそ、２／４としたつもりです。

＞「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか？」を計算しているんです。

しかし、問いでははっきりと、「ちょうど５回目に３つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか」となっています。だから、５回目に白い玉がくる可能性をひかないテキストの解説に、「これだけでいいの？もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と感じています。

お礼日時：2008/05/04 08:28

No.5 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/05/04 02:14

何故か回答を受け付けなかったのでもう1度投稿してみます。

2重投稿になっていたらすみません。

> もう勉強しても勉強しても正しい解き方を自力で気付くということができませんし、テキストの解説を読んでも、「なんか違くないか？」「これだけでいいの？」「もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と頭を抱え込んでしまいます。

私も一時期同じような状況に陥りました。
おそらく、「確率の考え方」と「場合の数の考え方」が
ごちゃごちゃになっているのだと思います。

> 段階２で引っかかっています。４Ｃ２、この式ですと、４個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

4C2は確率ではありません。場合の数です。
まず、ここがきちんと把握できていないのではないでしょうか（私がそうだったので）。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか？」
を計算しているんです。
段階2は確率の問題ではなく、場合の数(組み合わせ)の問題を解いているだけです。
（段階1も、確率じゃなくて場合の数を求めています。）
何度も言いますが、段階2では最初に、場合の数を求めているだけです。
「ちょうど5回目に3つ目の赤玉を取り出す組み合わせは何通りか？」
を計算しているんです。
確率を計算しているのは最後の分数の部分だけです。

例えば、こんな問題があったとします。
***********************************************
1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつある。
この中から2枚選んで並べ、2桁の数字をつくる。
2桁の数字が偶数になるのは何通りか？
***********************************************

解答はこうなります。
***********************************************
一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる。
よって一の位は「2」か「4」の2通り、
十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので
2 × 3 = 6通り
***********************************************

この解説に対し、
***********************************************
一の位に必ず「2」か「4」が来るなんて
断言できないじゃないですか。
一の位には「1」や「3」が来る可能性だって
あるじゃないですか。
***********************************************

と反論してきた人がいたとします。
この反論の間違っている点を指摘できるなら、
下の質問者さんの発言の中の「誤っている点」に気付けるはずです。

> ４Ｃ２、この式ですと、４個目までの中で赤い玉をだす確率は求められたとしても、その後５個目で、必ず赤が来るなんて断言できませんよね。白が来る可能性だって十分あるのです。

No.6 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/05/04 11:51

> しかし、問いでははっきりと、「ちょうど５回目に３つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか」となっています。

> だから、５回目に白い玉がくる可能性をひかないテキストの解説に、「これだけでいいの？もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と感じています。
やっぱり、確率と場合の数を混同していると思います。元の問題で求められているのは確率ですが、解説のその部分で求めているのは場合の数です。

ご質問の問題の解説の場合、段階1はすべての場合の数を求めています。
段階2は
> ちょうど５回目に赤い玉を取り出す場合の数は、４個目までに赤い玉２個、白い玉２個を並べ、５個目に赤い玉、６個目からは全て白い玉を並べる
これの場合の数を求めています。そしてそれは省略せずに書けば、4C2*1C1*5C5=6（通り）です。5個目が赤い玉である場合の数を求めているのです。5個目が赤い玉である確率を求めているのではありません。

サイコロを1回振ったときに1が出る確率を考えてみてください。すべての場合の数は6通り（段階1）で、1が出る場合の数は1通り（段階2）です。従って求める確率は1/6です。
段階1も段階2も求めているのは確率ではなく場合の数です。

ご質問で、
> 必ず赤が来るなんて断言できませんよね
と書かれていますが、断言できます。5個目が赤である“場合”の数を求めているからです。5個目が赤である場合だけを考えているのですから、5個目は必ず赤です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞省略せずに書けば、4C2*1C1*5C5=6（通り）
＞5個目が赤である“場合”の数を求めているから

省略、というのにショックを受けました。僕は今まではじめの４つのうち、赤玉が２個（結果的に同時に白玉２個）並ぶ配列についてだけを計算しているのかと思っていました。しかし、その後のことについても、計算していないのではなく、省略してあっただけ、ということなのでしょうか。

改めて自分で考えて解いてみました。

１．
分母となる計１０個の玉の並び方を求める→１０！／７！×３！

２．
次は分子。はじめの４つの赤玉２個、白玉２個の並び順を求める必要がある。さらに、５個目が赤となる計算、そして、残りの５つが赤で埋まる配列を計算する必要がある。

（４！／２！×２！）×（１！×１！）×（５！×５！）＝６

答えは６／１２０＝１／２０となりました。

この式をたてた考え方はあっていますでしょうか。　　

お礼日時：2008/05/04 21:49

No.7 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/05/04 13:48

＞　だからこそ、５回目に３個目の赤が取り出される確率を、キチンと求めるべきだと感じています。

それを求めずにでた答えは、５回目に３個目の赤が取り出されるパターン以外の確率も含まれていると思うからです。

皆さんがおっしゃるとおり、場合の数を求めるのと確率を求めることの違いを根本的に理解できていないようだ。もしくは混乱。

解説の段階１も段階２も求めているのは場合の数であって、確率ではない。
段階１は全ての場合の数。これには、何でもかんでも全ての場合が数えられている。
段階２は、問題となっている事象、即ち、４回目までに２個の赤が出て、５回目に赤が出る場合の数だ。
故に、求める確率は、（段階２の場合の数）／（段階１の場合の数）　である。

質問者が言うように、５回目に赤が出る確率をちゃんと求めたいということなら、４回目までに２個の白が取り出される（場合の数ではなくて）確率を求めて、それに、５回目に赤が出る確率をかければよい。
４回目までに２個の赤が取り出される確率は 3/10 （4Ｃ2ではない。なぜこうなるかは自分できちんと計算されたし）。
このとき、残りの玉は赤が１個、白が５個だから、５回目に赤を取り出す確率は 1/6。
よって、3/10 × 1/6 = 1/20 が求める確率となる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。


確率→条件に該当するケース／起こりうる全てのケース…ですよね。
場合というのは、この条件に該当するケースのみを指している、ということとは違うのですか。僕が使用しているテキストには、nＣrの式は、「組み合わせ」という言葉で解説されています。

＞４回目までに２個の赤が取り出される確率は 3/10 （4Ｃ2ではない。なぜこうなるかは自分できちんと計算されたし

１．
２個の赤、２個の白が選ばれることになるので、赤赤白白を基準に考えた場合、３／１０×２／９×７／８×６／７＝１／２０

２．
赤赤白白をはじめ、これを含めた並び順は４！／２！×２！、もしくは４Ｃ２で、全部で６通り

３．
１／２０×６＝３／１０

という風に考えましたが、いかがでしょうか。

お礼日時：2008/05/04 22:05

No.8 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/05/05 10:54

> 分母となる計１０個の玉の並び方を求める→１０！／７！×３！

合っています。ただ、この掲示板のようにテキストでしか表示できない場合、10!/(7!*3!)と括弧を使わないと(10!/7!)*3!と区別がつかないので注意してください。

> （４！／２！×２！）×（１！×１！）×（５！×５！）＝６
書き間違いがありますが、合っています。
{4!/(2!*2!)}*(1!/1!)*(5!/5!)です。

これらの計算は、玉の並べ方で考えていると思います。すべての玉を区別して並べる並べ方が10!通りあり、そのうち白玉は入れ替わっても同じことなので7!で割り、赤玉も入れ替わっても同じことなので3!で割るという計算です。
これに対し、解説に出てくる10C3は、玉を置く場所が10ヶ所あり、その中から3ヶ所赤玉を置く場所を選ぶという考え方です。
どちらで考えてもよいと思いますが、両方出来るようにするとよいと思います（まずは計算が簡単そうな方でやって、時間があったら検算のときに面倒そうな方で確かめるとか）。

この回答へのお礼

この解き方であっているとのこと、安心しました。しかし、今回この問題の解き方がわかったというのは、この問題に限っての話であり、またちょっとでもパターンを変えられると、もうどうしたらよいかわからず困ってしまうでしょう…。

復習を頑張ります。ありがとうございました。

お礼日時：2008/05/05 21:14

No.9 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/05/05 20:47

ANo.4です。

> 今回記していただいた解説に対する疑問点は、「十の位は余った3枚のカードの中から選ぶので」の箇所です。偶数は４つ中２つしかなく、すでに一の位で偶数を１つ使っているのだから残された偶数は
> １つだけなはずなのに、なぜ「×３」なのだろう？という点です。
> 2 × 3 = 6通り　の式ですと、奇数も含んでしまうことになりますよね。なぜなら、偶数は３つもないからです。

そうです。十の位は奇数を含みます。
問題文は「2桁の数字が偶数になるのは何通りか？」です。
十の位が奇数でも、一の位が偶数なら数全体は偶数になります。
（12や14や32や34は偶数ですよね。）
十の位に使えるのは、「残された偶数のカード1枚」と「奇数のカード2枚」で合計3枚です。
だから×3です。

> しかし、問いでははっきりと、「ちょうど５回目に３つ目の赤い玉を取り出す確率はいくらか」となっています。だから、５回目に白い玉がくる可能性をひかないテキストの解説に、「これだけでいいの？もっと他にも計算することがあるんじゃないの？」と感じています。

ANo.6さんの回答へのお礼を見ると、
この点に関しては答えなくても大丈夫そうです。

> 場合というのは、この条件に該当するケースのみを指している、ということとは違うのですか。僕が使用しているテキストには、nＣrの式は、「組み合わせ」という言葉で解説されています。

nCrの「組み合わせ」も、nPrの「順列」も、どちらも場合の数です。
「場合の数」という大きな枠組みの中に、「組み合わせ」と「順列」があるんです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞この点に関しては答えなくても大丈夫そうです。

おかげさまでなんとか大丈夫そうです。あの問題に限って言えば…。


***********************************************
1、2、3、4の数字が書かれたカードが1枚ずつある。
この中から2枚選んで並べ、2桁の数字をつくる。
2桁の数字が偶数になるのは何通りか？
***********************************************

今度はこっちがこんがらがってしまいました。

１２　１４　
２４
３２　３４
４２

の６つがあり、これが正解なわけですね。で、これを式で計算して求めることはたいへん難しいと感じています。

テキストで、「１，２，３の並び順を求めろ→３×２×１＝６通り」というのを教わりました。よって、確率ではなく並び順ということを意識して今改めてこの問題を解こうとすると、十の位の可能性×一の位の可能性という視点で解こうとしてしまい、一体どの数字が適切かわからなかったのです。「４×２」とか、色々混乱していました。

R_Earlさんは、「一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる」ということに真っ先に着眼し、「一の位の可能性×十の位の可能性」として、計算されているわけですね。

これはとても大変な作業です。なぜなら、「一の位が偶数になれば、どんな数でも偶数になる」ということに気付き、それにしたがって２×３という式を思いつくのは、とても複雑だと思うからです。

僕の場合、
（１×２）＋（１×１）＋（１×２）＋（１×１）と、ちまちま解くほうが性に合っているみたいです（この解き方でも大丈夫ですよね？）。

勉強しても勉強しても、ほんのちょっとでも内容を変えられると、すぐわからなくなってしまうからイヤになっちゃいますね（^_^;）。

お礼日時：2008/05/05 21:32