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せん断弾性率(G)、体積弾性率(K)、縦弾性率(E)、ポアソン(ν)として、

G=E/2(1+ν)、K=E/3(1-2ν)

を誘導するにはどうすればいいんですか??
教えてください。
後、どこかにいいサイトがあったら教えてください。
よろしくお願いします。

また、それと、誘導しろっていうのは、どういう意味なんですか??
それになるように導けという意味なんですか??

A 回答 (1件)

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Q縦弾性率からせん断弾性率及び体積弾性率の導出方法

縦弾性率E、ポアソン比νの場合、
せん断弾性率:G=E/2(1+ν)
体積弾性率 :K=E/3(1-2ν)
という式で表されますが、どのように導くのでしょうか?
よろしくお願いします。
以上

Aベストアンサー

剪断弾性係数(G)は,正方形の剪断変形の幾何学形状によって導きます。

単位長さの辺(辺長=1,対角線長=√(2))を持ち,辺ABを底辺とする正方形(左回りに)ABCDに左から頂点Dに力を加えたら,平行四辺形ABC'D'に変形します。この時,辺ABと辺C'D'は平行のままです。また,この時,角DAD'を(γ)とします。とすれば,頂点Dの移動距離は,δ=tan(DD'/辺長)ですが,辺長は単位長さ,変形角度が十分小さいとすれば,δ=γとなり,δ=DD'=CC'=γです。

ここで,四角形の対角線長は,AC=BDですが,変形後はAC+Δ,BD-Δとなります。また,対角線AC'のひずみ度は,ε=1/E・(σ+νσ)ですので,対角線の伸びは,ひずみ度と対角線長を乗じたものになります。即ち,ΔL=ε・√(2)です。

ここで,対角線ACからAC'に垂線を引き交点をEとすると,AC'=AC+ΔLとなりますが,三角形CEC'は,頂点Eを90度とする2等辺三角形になっていますので,CC'は,CC'=ΔL・√(2)となります。

ここまでを整理しますと,
γ=CC'=ΔL・√(2)=ε・√(2)・√(2)=1/E・(σ+νσ)・√(2)・√(2)
γ=2/E・(1+ν)σ
σ=2(1+ν)/E・γ=γ/G つまり G=E/2(1+ν)となります。

体積弾性率(k)は,1辺を単位長さとする直方体の6面全てに圧力(P)が作用したときの体積ひずみを(εv)としたときの変形後の各辺の長さを(1+εi),i=x,y,zとすれば,体積ひずみは,-(変形後の体積)+(変形前の体積)ですから,
εv=-(1+εx)(1+εy)(1+εz)+1
となります。ここで,この式を解いて,この変形が微小変形であると仮定し2次以上の項を省略すれば,εv=-(εx+εy+εz)となります。
各方向のひずみが等しい(εx=εy=εz)とすれば,
e=-1/E・(-p+ν(p+p))ですから,
ev=-3・1/E・(-p+ν(p+p))
ev=p・3(1-2ν)/E=p/K つまり K=E/3(1-2ν)
となります。

剪断弾性係数(G)は,正方形の剪断変形の幾何学形状によって導きます。

単位長さの辺(辺長=1,対角線長=√(2))を持ち,辺ABを底辺とする正方形(左回りに)ABCDに左から頂点Dに力を加えたら,平行四辺形ABC'D'に変形します。この時,辺ABと辺C'D'は平行のままです。また,この時,角DAD'を(γ)とします。とすれば,頂点Dの移動距離は,δ=tan(DD'/辺長)ですが,辺長は単位長さ,変形角度が十分小さいとすれば,δ=γとなり,δ=DD'=CC'=γです。

ここで,四角形の対角線長は,AC=BDですが,変形後はAC+Δ,BD-...続きを読む

Qポアソン比と張力の関係!?

長さl、ヤング率Eの一様な棒の一端を固定し、
他端にTの張力を加えたとき、棒の体積ΔVだけ
変化した。ポアッソン比を求めよ。

という問題で苦戦しています。
ポアッソン比とはσ=Δd/d/Δl/l
と書いてあるのですがまったく分かりません。
いろいろ調べてみたのですが、E=2G(1+μ)この
公式はよく分からないし、
p(張力)=E(ヤング率)a(伸び率)
と書いてあったのですが、その伸び率も分かりません。
火曜日提出の課題なのですが分からないので教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

普通の材料力学のテキストに載っているような問題ですが、テキストを読むよりここでの回答の方がよく理解できた(?)ということもままありますから(←以下の回答がそれに該当するかどうかはまったく別)、蛇足ながら知識の整理をと回答のヒントを書いておきます。
●ポアソン比・・・縦と横の歪みの比
長さL0、直径d0の丸棒(あるいは横幅d0の角棒)を引っ張っると棒は引っ張り方向に△lだけ伸びて長さがLになり、幅は△dだけ縮んでdになったとします。このとき単位あたりの伸びあるいは縮みを”ひずみ”と呼んでεで表すと2つのひずみが定義できますね。すなわち
(1) ε=(L-L0)/L0=△L/L0 ・・・縦ひずみ
(2) ε’=(d-d0)/d0=△d/d0・・・横ひずみ
この縦ひずみと横ひずみの比は材料によって一定の値をとることが知られていますが、その比を
(3) ν=-ε’/ε 
と表して、このν(質問ではσと表記)をポアソン比と
呼んでいます。
●E:ヤング率・・・応力と歪の間の比例係数
一端が壁に固定されている棒を考える(←両端から引っ張ってもよい)。引っ張り方向に垂直な断面ABの面積をAとし、引っ張る力をPとした場合、単位断面積あたりに作用する力を応力(引っ張る場合:引っ張り応力、圧縮する場合:圧縮応力という)と呼び次式で定義されます。
(4) σ=P/A ・・・応力
応力(4)とひずみ(1)の間に比例関係がある場合、比例乗数をEとすると
(5) σ=Eε
と表され、この関係をフックの法則と呼んでいますが、この比例定数Eをヤング率(縦弾性係数)と呼んでいます。
●横弾性係数・・・せん断応力とせん断歪みの間の比例係数
右図のように一端に   A|    ↓P
加重Pが作用する場    |--- 
合、AB面には上の   ↑|    |
方向に応力が発生し   B|---
その合計は加重Pに    |
等しくなります。こ
のような作用面に沿って生じる応力を「せん断応力」と呼び、これは次式で定義されます。
(6) τ=P/A (A:ABの面積)
次に、6面体ABCDの周辺にせん断応力が作用すると、変形します。その変形分をせん断歪と呼び、普通γの記号で表されます(図はここではうまく書けませんので適当なテキストを見てください)。せん断応力τとせん断歪γの間にも比例関係が成立して
(7) τ=Gγ
なる関係があります。このGを横弾性係数(あるいは剛性率)と呼んでいます。
●E=2G(1+ν)
以上の話から、この式はヤング率と横弾性係数、ポアソン比の間に成り立つ関係を表していることが分かります。この式は理論的に導かれますが、ここでは大変なので適当な材料力学のテキストを参照してください。
>p(張力)=E(ヤング率)a(伸び率)
と書いてあったのですが
(4)と(5)より
(8) P/A=Eε⇒P=EεA⇒P=Eε(A:単位面積とする)

>長さL、ヤング率Eの一様な棒の一端を固定し、
他端にTの張力を加えたとき、棒の体積ΔVだけ
変化した。ポアッソン比を求めよ。

・棒の断面は単位面積(d=1)と仮定します。
・△V=V-V’
  V=L×A=L
  V'=(L+△L)×(d-△d)^2
   =(L+△L)×(1-2△d)・・△d^2は微小量でカットした
   =L-2L△d+△L ・・2△L△dは微少量でカット
 △V=2L(△d-△L/L)=2L(ε’-ε)
   =2εL(-ν-1) ・・(1)(2)を使う
   =-2PL(ν+1)/E ・・(8)を使う
これから
 ν=-(E△V/2PL+1)
となったが間違っているかもしれません(←その可能性大)。ご自分で計算してみてください。

普通の材料力学のテキストに載っているような問題ですが、テキストを読むよりここでの回答の方がよく理解できた(?)ということもままありますから(←以下の回答がそれに該当するかどうかはまったく別)、蛇足ながら知識の整理をと回答のヒントを書いておきます。
●ポアソン比・・・縦と横の歪みの比
長さL0、直径d0の丸棒(あるいは横幅d0の角棒)を引っ張っると棒は引っ張り方向に△lだけ伸びて長さがLになり、幅は△dだけ縮んでdになったとします。このとき単位あたりの伸びあるいは縮みを”ひずみ”と呼ん...続きを読む

Q剛性率G(せん断弾性係数)とポアソン比ν、ヤング率Eに関する関係式について質問です。 G=E/2(1

剛性率G(せん断弾性係数)とポアソン比ν、ヤング率Eに関する関係式について質問です。

G=E/2(1+ν)という関係式の導出において、教科書や、各種解説サイトや質問投稿サイトで以下のような図が用いられているのですが、必ず途中で、「△DD'Eは直角二等辺三角形であるから、〜」という記述があります。ここって、必ず直角二等辺三角形になるのでしょうか?それとも、何か近似しているのでしょうか?(画像見にくくて申し訳ありません。)

Aベストアンサー

∠DBD'=θ、四角形ABCDが正方形とすると、
∠D'DE=45°+θ
∠DD'E=45°-θ
となり厳密には△DD'Eは直角二等辺三角形になりません。
ただし、
DE=DD'sin(45°-θ)=DD'(sin45°cosθ-cos45°sinθ)
θは微小なので
DE=DD'(sin45°-θcos45°)=DD'sin45°-DD'θcos45°
ここで、二次の微小項(DD'θ)を無視して
DE=DD'sin45°
同様に
D’E=DD'sin45°
として△DD'Eは直角二等辺三角形と考えるのだと思います。

Qせん断弾性係数の導きについて

ひずみの座標変換を用いずにせん断弾性係数G=E/2(1+ν)を導く方法を探しています。

モール円より2τxy=σ2-σ1となることから(σ1,σ2:主応力度)

τxy=E/2(1+ν)・(ε2-ε1)

となることまでは導けたので

ε2-ε1=γxy

となれば完了となるのですが、ここで行き詰っています。
上式は座標変換を用いれば証明可能かとは思いますが、
座標変換を用いずに簡潔に説明できればと思っています。
どなたかご存知の方、宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

 結局、歪みや応力の座標変換,モールの応力円の計算と実質的に同じになりますが、添付図のように、純圧縮σの一様側圧を受ける、純引張σの組み合わせ応力を受ける、供試体を考えます。

 供試体の中に45°傾いた正方形要素(大きさ任意)を考えると、図に示したように要素は、せん断応力τ(σの合成応力)による純せん断状態になっています。τにより要素は、点線のように純せん断変形γを起こすはずです。しかしγは、側圧-σの直歪みと引張σのポアソン比分の影響の合計、εの結果でもあります。

   (1)γとεの関係を、幾何学的に求めます。

   (2)τとσの関係を、幾何学的に求めます。

   (3)γとεを、フックの法則(弾性コンプライアンス)から、τとσとνで表します。

 (3)→(2)→(1)と代入すれば、G=E/2(1+ν)が出るはずです。

Q楕円体の慣性モーメントについてです

長半径a短半径bの楕円体の慣性モーメントを求めたいです(原点が楕円の中心でx軸y軸z軸それぞれの慣性モーメントを求めたい)

r^2dmの積分で慣性モーメントが求まるのでdmは楕円の媒介変数表示で表せる気がしますが、rはあらわしかたが想像できません

楕円体の慣性モーメントのもとめかたわかるかた教えてください

Aベストアンサー

No.3 訂正があります。オンラインで書くとダメですね(^^;


>(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθdΦ=(a^2+b^2)M∫r^4drdΦ=
>(a^2+b^2)M∫r^4dr=(1/5)(a^2+b^2)M

(3/4)(a^2+b^2)M∫(sinθ)^3r^4drdθ=(a^2+b^2)M∫r^4dr=
=(1/5)(a^2+b^2)M

でした。(sinθ)^3 の積分は、公式を参照してください。
0~πでは 4/3 になります。

Q世の中で共振現象が起こって困ることや危険なこととは?

世の中で共振現象が起こって困ることや危険なこととは、なんでしょうか?

あと、あまり当質問とは関係ありませんが懸架装置とはなんですか?(読み方は けんかそうち であっていますか?)

Aベストアンサー

SCNK さんの話は1940年の話ですね.
タコマ・ナローズ橋(アメリカ,ワシントン州)という,
完成間もない吊り橋が大して強くない風のために落ちたという話です.
橋の構造上の問題で,風との複雑な相互作用の結果,
自励振動を起こしたとされています.
橋が揺れだして,突然揺れ(というかねじれ)の振幅が大きくなりだし,
車が橋の外に放り出され.次いで橋が崩れ落ちる様子が映画で記録されています.
私も見たことがあります.

あとは,軍隊が歩調を合わせて行進した結果,橋が崩れた話もかなりあります.
手元に資料がなかったので,ネットを検索してみたら
http://okumedia.cc.osaka-kyoiku.ac.jp/~masako/exp/melde/heitai.html
というのがありました.

関東大震災で,地盤の固い山の手では土蔵の被害が多く,
地盤の軟らかい下町では二階屋の被害が多かった,とされていますが,
これも共振で説明できるとされています.
固い方が固有振動数が大きいのです.

旧約聖書には叫び声でジェリコの城壁が崩れ落ちる話があります.
これも共振でしょうか.

もちろん,共振がすべてまずいわけではなくて,
役にも立っています.
電気回路の共振で○○MHzの発振ができるわけで,
今私がコンピューターを使っているのも共振のおかげです.
摩擦だって,良い方にも悪い方にも働きますし...

SCNK さんの話は1940年の話ですね.
タコマ・ナローズ橋(アメリカ,ワシントン州)という,
完成間もない吊り橋が大して強くない風のために落ちたという話です.
橋の構造上の問題で,風との複雑な相互作用の結果,
自励振動を起こしたとされています.
橋が揺れだして,突然揺れ(というかねじれ)の振幅が大きくなりだし,
車が橋の外に放り出され.次いで橋が崩れ落ちる様子が映画で記録されています.
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あとは,軍隊が歩調を合わせて行進した結果,橋が崩れた話もかなり...続きを読む

Q楕円の慣性モーメントの導出

重さが均一で質量mの楕円形をした物体があると過程します。
この楕円の物体にかかる慣性モーメントの導出の仕方を教えてください!
楕円の式の値はなんでもいいのでよろしくお願いします!
一応x=3、y=2を通る楕円ということで計算してもらってもいいです。

Aベストアンサー

アドバイスのみですが.

慣性モーメントの定義は,
I=m×r^2
ですよね,微小体積で見れば,
dI=ρ×r^2dV
なので,これを全体積で積分すれば良いです.

最も一般的なのは,地球で例えますと,北極~南極を通る軸に対して
垂直な面で輪切りにしたものを,北緯90°~南緯90°まで積分します.
極座標でdV=(なんちゃら)×dφdθdrです.

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q窒素の定積(定容)比熱について

窒素の定積(定容)比熱について具体的な値を知りたいのでどなたか教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

物理化学の教科書に定圧熱容量Cpは載ってました。窒素はCp=29.125J/K・molでした。定容熱容量Cvと、定圧熱容量Cpの間には次のしきが成り立つので、この式により、定容熱容量が求まります。
 Cv=Cp-R
Rは気体定数で8.3145J/K・molで、Cvは20.81j/K・molと求まります。実測値とは多少異なるかもしれません。


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