No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ANo.2ですが、誤りがあったので訂正します。
> ロピタルの定理を使わなくても、
> x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、
> lim[x → 0] xtan^-1(x) = 0と考えられませんか?
正しくはこうです。
ロピタルの定理を使わなくても、
x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、
lim[x → 0] xtan^-1(1/x) = 0と考えられませんか?
失礼しました。
この回答へのお礼
お礼日時:2008/06/05 18:06
回答ありがとうございます。
はさみうちの定理で行うと
-π/2<tan^-1(1/x)<π/2
=-πx/2<xtan^-1(1/x)<πx/2
より
lim[x→0]-πx/2=0
lim[x→0]πx/2=0
よって
lim[x→0]xtan^-1(1/x)=0
になるで良いのですよね?
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
> lim[x→0] x tan^-1(1/x)
tan^-1(x)はtan(x)の逆関数でしょうか?
> ロピタルの定理で
> lim[x→0] {tan^-1(1/x)}/(1/x)
> =lim[x→0]{tan^-1(1/x)}'/(1/x)'
> =lim[x→0]{-1/(1+x^2)}/(1/x)^2
> =lim[x→0](x^2)/(1+x^2)=0
まず、ロピタルの定理は使えないはずです。
あれは、0/0か∞/∞の不定形になるものにしか使えなかったと思います。
tan^-1(1/x)→∞なら使えますが、そうではないので使えません。
tan^-1(x)の値域は
-π/2 < tan^-1(x) < π/2
ですよね。なので
-π/2 < tan^-1(1/x) < π/2
です。
ロピタルの定理を使わなくても、
x → 0でtan^-1(1/x)が無限大に発散しないので、
lim[x → 0] xtan^-1(x) = 0と考えられませんか?
もうちょっとちゃんと示したいのなら、先ほどの式
-π/2 < tan^-1(1/x) < π/2
にxをかけて、はさみうちの定理を使えば示せます。
x → +0の場合と、x → -0の場合で分けて考える必要がありますが。
> ちなみに tan^-1(1/x)
> のグラフはどのようになるのでしょうか?
xに値を代入し、その時のtan^-1(1/x)の値を計算して
グラフにプロットするしかありません。
tanの三角比表があれば、作業が大分楽になります。
例えばx = 1の時、tan^-1(1/x) = tan^-1(1) = π/4。
x = √3の時、tan^-1(1/x) = tan^-1(1/√3) = π/6です。
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