三角関数の計算

三角関数の計算

0<θ<π として
y=cos(πsinθ)sin(πsinθ)
このとき y>0 となるのはどのようなときか？

これの解き方を教えてください
答えは 0<θ<π/6 , 5π/6<θ<π です。

よろしくお願いします。

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/29 09:38

π*sinθ＝αとすると、0<θ<π より0＜sinθ≦1であるから、0＜π*sinθ≦π。

従って、0＜α≦π。
y＝cos(πsinθ)sin(πsinθ) ＝cos(α)*sin(α)＝（1/2）*sin(2α)＞0であるから、（0＜2α≦2πに注意して）
0＜2α＜π、即ち、0＜2π*sinθ＜πであるから、0＜sinθ＜1/2.
これを、0<θ<πの範囲で解くと、 0<θ<π/6 , 5π/6<θ<πになる。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/06/28 23:46

y=cos(πsinθ)sin(πsinθ) =(1/2)sin(2πsinθ)

y>0となるのは
nを整数として
2nπ<2πsinθ<2nπ+π
n<sinθ<n+(1/2)…(A)
0<θ<πなので
0<sinθ≦1…(B)
(A)が(B)と範囲を共通するθが存在する為には
n=0でなければならない。
このとき(A)は
0<sinθ<1/2
これを満たす0<θ<πを満たすθの範囲は
答の範囲になります。

No.2 回答者： 774danger 回答日時： 2008/06/28 21:30

・0<θ<πのときに、πsinθはどういう値を取るか?

・その範囲で、cos(πsinθ)とsin(πsinθ)の正負はどうなるか?

がわかれば、後は符号が同じ範囲を探すだけでしょう

No.1 回答者： debut 回答日時： 2008/06/28 21:29

sin2Ａ＝２sinＡcosＡ→cosＡsinＡ＝(1/2)sin2Ａ

を使って変形してみてください。
あとは不等式を２回解けば、結果が得られます。