(1)V=C^0(R)(←R上の実数値連続関数の全体)
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であること示せ。
(2)v_1=e^(a_1・x),…,v_r=e^(a_r・x)
a_1,…,a_rはどの2つも同じでないは、一次独立であることを示せ。
ヒント:微分、ファンデルモンドの行列式を使う。
(1)は、一次独立の定義より、c_1・v_1+c_2・v_2+c_3・v_3=0となるc_1,c_2,c_3∈Rがc_1=c_2=c_3=0を導き出せば、一次独立(線形独立)になることは分かります。
c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0
e^x≠0なので、c_1+c_2・e^2+c_3・e^3=0
e^2≠0,e^3≠0より
c_1=c_2=c_3=0になる。
という導き方でいいのでしょうか?
(2)の方は、問題の意味がよく分からないので、詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
>c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0
とありますが、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0 ・・・(ア)を微分すると、
c_1・e^x+2・c_2・e^(2x)+3・c_3・e^(3x)=0・・・(イ)となるのが正しい。
だから あなたの様にやると、
e^x≠0なので、c_1+2・c_2・e^x+3・c_3・e^(2x)=0となります。
この(ア)はもう一回微分して、
c_1・e^x+2^2・c_2・e^(2x)+3^2・c_3・e^(3x)=0・・・(ウ)
として、(ア)(イ)(ウ)をc_1,c_2,c_3の連立方程式を解くわけです。
よって
(e^x e^(2x) e^(3x) ) ( c_1 ) (0)
(e^x 2e^(2x) 3e^(3x) ) ( c_2 ) = (0)
(e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)) (c_3 ) (0)
を解けばよい。そこで、上の行列をAとおいたとき、
detA≠0を示せばよいのです。
|e^x e^(2x) e^(3x) |
detA= |e^x 2e^(2x) 3e^(3x) |
|e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)|
=e^{(1+2+3)x}
| 1 1 1 |
= |1 2 3 |
|1 2^2 3^2 |
= (18+3+4)-(2+12+9)=25-23=2≠0 つまり、detA≠0
よって、Cramerの公式から、 (c_1,c_2 c_3)^t=(0 0 0)^t
となって、
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であることが示された。
(2)
(1)は(2)の伏線です。e^(a_1・x),…,e^(a_r・x) のr個
ありますから、同じように最初の式
c_1・e^(a_1・x)+c_2・e^(a_2・x)・・・+c_r・e^(a_r・x)=0 ・・・(#)とおき、これを
順次微分を(rー1)回してならべ、c_1,c_2,・・,c_rの連立方程式
(e^(a_1・x) e^(a_2・x) ・ e^(a_r・x)) (c_1) (0)
(a_1・e^(a_1・x) a_2・ e^(a_2・x) ・ a_r e^(a_r・x)) ( c_2) (0)
(・ ・ ・ ・ ・ ) (・ ) =(・)
((a_1)^(r-1)・e^(a_1・x) (a_2)^(r-1)e^(a_2・x) . (a_r)^(r-1)e^(a_r・x)) (c_r) (0)
ができます。
この行列をA_rとおくと、
detA_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r
となります。
detB_rは次のようになります。
| 1 1 ・ ・ ・ 1 |
|(a_1)^2 (a_2)^2 ・ ・ (a_r)^2 |
|・ ・ ・ ・ ・ |
|(a_1)^(r-1) (a_2)^(r-1) ・ ・ (a_r)^(r-1) |
detB_rをVandemonde(ファンデルモンド)の行列式
といいます。
a_1 、a_2,..., a_rが全て異なっているとき、これは0になりません。
よって、detB_r≠0となり、
detA_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r≠0となって
証明ができます。それは、
detB_r=(-1)^{r(r-1)/2×Δ(a_1,a_2,..,a_r) ・・・(★)というのが
「ファンデルモンド」の公式で、
ここに、Δ(a_1,a_2,..,a_r)はa_1,a_2,..,a_rの「差積」といって
Δ(a_1,a_2,..,a_r)=(a_1-a_2)(a_1-a_3)....・(a_1-a_r)
×(a_2-a_3)....・(a_2-a_r)
・・・・・
×{a_(r-1)-a_r}
としたものです。
a_1,a_2,・ ・ ・,a_rがどの2つも同じでない ⇔Δ(a_1,a_2,..,a_r)≠0 というわけです。
No.2
- 回答日時:
fがV上0になるとは任意のx∈Rに対してf(x)=0になるということです。
(1)は適当に実数を3つ代入してみてください。
0、1、-1で大丈夫だと思います。
(2)は一次結合の式をr-1回微分して
r本の式を行列表示してください。
ちなみにファンデルモンドの行列式については
線形代数の教科書にのってるはずなので見てみてください。
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