「忠犬もちしば」のAIボットを作ろう!

次の関数の組が線形独立であることを示してください。

 (1) cosx, cos2x

 (2) x^2, exp(x), exp(-x)

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

丸投げするなら、少しは自分で鉛筆動かして考えろ。


(1)
任意の実数xに対して
acosx+bcos2x=acosx+b{2(cosx)^2-1}
=2b(cosx)^2+acosx-b=0とする。

2b(cosx)^2+acosx-bは2bt^2+at-b(-1≦t≦1)の2次関数とみなせるから
(a,b)≠(0,0)だとおかしいのは分かる。

(2)
任意の実数xに対して
ax^2+bexp(x)+cexp(-x)=0・・・・(1)とする。
xで3階微分して
bexp(x)-cexp(-x)=0 即ち bexp(2x)-c=0・・・・(2)となる。
(2)をもう一回さらにxで微分して
2bexp(2x)=0 を得る。このときどんな実数xに対してもexp(2x)>0よりb=0
よって(2)からb=c=0
さらにこれと合わせて(1)から任意の実数xに対してax^2=0 ⇒a=0である。
つまり(a,b,c)=(0,0,0)
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No3です。


No2の言うとおり。複雑に考えて載せるんじゃなかった。
代入すればいいだけの話だった。
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それらの関数の線型結合を作った上で、


(1) x = 0, π を代入してみる。
(2) x = 0, 1, -1 を代入してみる。
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    • 1

どのようなときに関数は「線形独立」なのですか?

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このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q一次独立かどうかを判定する問題について。

次の各ベクトル系はR2(この2は二乗という意味です。)で一次独立かどうかを判定せよ。{(1、3)(2、-3)}
という教科書の問題がわかりません。例題もないし他の問題集や参考書も類題を探したのですがみつかりませんでした。
教科書の流れからいって「2個の元からなる系が一次独立であるための必要十分条件はどちらの元も他の元のスカラー倍にならないことである。」というのを使うんだと思いますがどうやって使えばいいのかわかりません。それとも別の定理かなにかを使うのでしょうか??

Aベストアンサー

その定義でもよいのですが、実際に計算するときは
次の形で一次独立を定義するほうが有用です。

a(1,3)+b(2,-3)=(0,0)
ならば
a=b=0

これはようするに(1,3)というベクトルをa倍して、
(2,-3)というベクトルをb倍して、それらを足すと
0になるのであれば、aもbも0でなければならない、
ということです。

aとbがともに0ならa(1,3)+b(2,-3)=(0,0)となるのは
直感的にも明らかですが、これが(0,0)になるからといって
一概にa=b=0とは言えません。
たとえばa(1,-1)+b(-1,1)=(0,0)は
たとえばa=1,b=-1などが解になるからです。

なお二つのベクトルが一次独立かどうかをみるだけならば、
最初にfutuさんがおっしゃった方法でも確かに判別できます。

(1,3)を何倍かして、(2,-3)にすることは絶対に無理ですから。
たとえば第一成分をみると二倍しなくてはいけませんが、
それでは第二成分が6になってしまって一致しませんから。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qロンスキアン利用による1次独立性(線形代数学)

f1(x)=(e^x)(cosx)
f2(x)=(e^x)(sinx)
f1,f2は1次独立であるかどうか?
ロンスキアン利用で解く方法があると思いますが、詳しく解き方を教えてください。

Aベストアンサー

普通、ロンスキヤンの一次独立性を証明するには、やはり、線型同次微分方程式との関係を使って証明します。しかし、敢えて証明するとなれば、以下のようになるでしょう。

f1,f2,...,fnを関数とし、
W(f1,f2,...,fn))≠0であるとします。
c1,c2,...,cnを定数としたとき、恒等的に
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
が成り立つならば、
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
c1f1'+c2f2'+...+cnfn'=0
c1f1''+c2f2''+...+cnfn''=0
............................
c1f1^(n-1)+c2f2^(n-1)+...+cnfn^(n-1)=0

がなりたちます。ところが、W(f1,f2,...,fn))≠0ですから、c1=c2=...=cn=0となります。(行列で表現された連立方程式「Ax=0が|A|≠0であるならば、これは自明な解x=0しか持つことができない」という定理はご存じですね)
したがって、f1,f2,...,fnは一次独立です。

ここで、少し補足をさせていただくと、No1では、
W(f1,f2,...,fn)≠0⇒関数f1,f2,..,fnは一次独立
の逆は一般的に成り立たないことをのべましたが、線型微分方程式との関係(連続、微分可能性という条件)で証明すれば、
W(f1,f2,...,fn)≠0⇔関数f1,f2,..,fnは一次独立
が成り立ちます。

それから、少しよけいなことを述べさせて頂くと、サラスの方法というのは3行3列の行列式の展開方法のことですので、2行2列の行列式の場合は特に名前はなかったような気がします。

普通、ロンスキヤンの一次独立性を証明するには、やはり、線型同次微分方程式との関係を使って証明します。しかし、敢えて証明するとなれば、以下のようになるでしょう。

f1,f2,...,fnを関数とし、
W(f1,f2,...,fn))≠0であるとします。
c1,c2,...,cnを定数としたとき、恒等的に
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
が成り立つならば、
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
c1f1'+c2f2'+...+cnfn'=0
c1f1''+c2f2''+...+cnfn''=0
............................
c1f1^(n-1)+c2f2^(n-1)+...+cnfn^(n-1)=0

がなりたちま...続きを読む

Q院試の志望理由書に苦戦しています

院試で志望理由書を1000字で書かなければならないのですが、意外と苦戦しています。どのような構成で書けばいいのかがよくわからなくて、一応広めに、どのようにその研究分野に興味を持ったか⇒なぜその研究室なのか⇒どのような研究をしたいのか⇒将来はなにをしたいのかという構成で書いていますが、どのような研究がしたいかという部分で学部の研究と異なる研究なので悩んでます。知ったかぶりに書いても見破られるでしょうし。
経験者の方はどのような構成で書かれましたか?特にどのような研究がしたいかという部分はどのくらい詳しく書きましたか?教えてください

Aベストアンサー

修士かな?(博士過程だと話は違うので)

志望理由は大学院側が志望理由を知るために書かせている文章ではありません。
論旨のとおった文章が書けるかどうかと、熱意があるかどうかなどを見るためものです。

研究計画を書いてもいいですが、大学院の側は受験生が勝手に言っている研究計画を尊重する気は全くありません。入学したらたいていは全然違う研究テーマになります。
つまり、研究計画は「良い(研究成果が出そうな)研究テーマであるか?」ではなく「論理の筋が通った文章であるか?大学院に入学してやっていけそうな基礎知識や知性が見える文章であるか?」が問題です。研究予算申請のための研究計画じゃないんですから。

採点する立場で言うと、たいていの研究計画は的外れで、「こういう変な/分野がずれている研究計画の固執する学生だと、合格させたくないなぁ。大学院側の提示する研究テーマに素直に乗り換えてくれる学生だろうかなぁ?」とか思って、読んでます。

Q一次独立

(1)V=C^0(R)(←R上の実数値連続関数の全体)
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であること示せ。

(2)v_1=e^(a_1・x),…,v_r=e^(a_r・x)
a_1,…,a_rはどの2つも同じでないは、一次独立であることを示せ。
ヒント:微分、ファンデルモンドの行列式を使う。


(1)は、一次独立の定義より、c_1・v_1+c_2・v_2+c_3・v_3=0となるc_1,c_2,c_3∈Rがc_1=c_2=c_3=0を導き出せば、一次独立(線形独立)になることは分かります。
c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0
e^x≠0なので、c_1+c_2・e^2+c_3・e^3=0
e^2≠0,e^3≠0より
c_1=c_2=c_3=0になる。
という導き方でいいのでしょうか?

(2)の方は、問題の意味がよく分からないので、詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

(1)V=C^0(R)(←R上の実数値連続関数の全体)
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であること示せ。

(2)v_1=e^(a_1・x),…,v_r=e^(a_r・x)
a_1,…,a_rはどの2つも同じでないは、一次独立であることを示せ。
ヒント:微分、ファンデルモンドの行列式を使う。


(1)は、一次独立の定義より、c_1・v_1+c_2・v_2+c_3・v_3=0となるc_1,c_2,c_3∈Rがc_1=c_2=c_3=0を導き出せば、一次独立(線形独立)になることは分かります。
c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。
>c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0

とありますが、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0 ・・・(ア)を微分すると、
c_1・e^x+2・c_2・e^(2x)+3・c_3・e^(3x)=0・・・(イ)となるのが正しい。
だから あなたの様にやると、
e^x≠0なので、c_1+2・c_2・e^x+3・c_3・e^(2x)=0となります。

この(ア)はもう一回微分して、
c_1・e^x+2^2・c_2・e^(2x)+3^2・c_3・e^(3x)=0・・・(ウ)
として、(ア)(イ)(ウ)をc_1,c_2,c_3の連立方程式を解くわけです。
よって 
(e^x e^(2x) e^(3x) ) ( c_1 ) (0)
(e^x 2e^(2x) 3e^(3x) ) ( c_2 ) = (0)
(e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)) (c_3 ) (0)
を解けばよい。そこで、上の行列をAとおいたとき、
detA≠0を示せばよいのです。
   |e^x e^(2x) e^(3x) |
detA= |e^x 2e^(2x) 3e^(3x) |
   |e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)|

=e^{(1+2+3)x}
| 1 1 1 |
= |1 2 3 |
 |1 2^2 3^2 |

= (18+3+4)-(2+12+9)=25-23=2≠0  つまり、detA≠0
よって、Cramerの公式から、 (c_1,c_2 c_3)^t=(0 0 0)^t
となって、
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であることが示された。
(2)
 (1)は(2)の伏線です。e^(a_1・x),…,e^(a_r・x) のr個
ありますから、同じように最初の式
c_1・e^(a_1・x)+c_2・e^(a_2・x)・・・+c_r・e^(a_r・x)=0 ・・・(#)とおき、これを
順次微分を(rー1)回してならべ、c_1,c_2,・・,c_rの連立方程式
(e^(a_1・x) e^(a_2・x) ・    e^(a_r・x)) (c_1) (0)
(a_1・e^(a_1・x)  a_2・ e^(a_2・x) ・   a_r e^(a_r・x)) ( c_2) (0)
(・   ・   ・       ・       ・  ) (・ )  =(・)
((a_1)^(r-1)・e^(a_1・x) (a_2)^(r-1)e^(a_2・x) . (a_r)^(r-1)e^(a_r・x)) (c_r) (0)
ができます。
この行列をA_rとおくと、
detA_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r
となります。

detB_rは次のようになります。
| 1    1 ・ ・ ・    1    |
|(a_1)^2  (a_2)^2   ・   ・  (a_r)^2 |
|・   ・   ・       ・       ・    |
|(a_1)^(r-1) (a_2)^(r-1) ・  ・ (a_r)^(r-1) |

detB_rをVandemonde(ファンデルモンド)の行列式
といいます。

a_1 、a_2,..., a_rが全て異なっているとき、これは0になりません。
よって、detB_r≠0となり、
detA_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r≠0となって
証明ができます。それは、
detB_r=(-1)^{r(r-1)/2×Δ(a_1,a_2,..,a_r) ・・・(★)というのが
「ファンデルモンド」の公式で、
ここに、Δ(a_1,a_2,..,a_r)はa_1,a_2,..,a_rの「差積」といって
Δ(a_1,a_2,..,a_r)=(a_1-a_2)(a_1-a_3)....・(a_1-a_r)
             ×(a_2-a_3)....・(a_2-a_r)
・・・・・
×{a_(r-1)-a_r}
としたものです。
a_1,a_2,・ ・ ・,a_rがどの2つも同じでない ⇔Δ(a_1,a_2,..,a_r)≠0 というわけです。

こんばんは。
>c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0

とありますが、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0 ・・・(ア)を微分すると、
c_1・e^x+2・c_2・e^(2x)+3・c_3・e^(3x)=0・・・(イ)となるのが正しい。
だから あなたの様にやると、
e^x≠0なので、c_1+2・c_2・e^x+3・c_3・e^(2x)=0となります。

この(ア)はもう一回微分して、
c_1・e^x+2^2・c_2・e^(2x)+3^2・c_3・e^(3x)=0・・・(ウ)
として、(ア)(イ)(ウ)をc_1,c_...続きを読む

Qベクトル(1,i)の規格化

ベクトル(1,i)の規格化
どうすればできますか?

Aベストアンサー

1^2 + i^2 = 0 って言いたいんじゃないかな?

実ベクトル空間の内積は、
一方のベクトルの転置と
もう一方のベクトルの行列積ですが、

複素ベクトル空間の内積は、
一方のベクトルの転置共役と
もう一方のベクトルの行列積ですよ。

x =
  ( 1 )
  ( i )  に対して、

|x|^2 = x・x = (x^*) x =
  ( 1 -i ) ( 1 )
       ( i )  = 1・1 + i・(-i) = 2。

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q大学のレポートの「考察」と「感想」の違い

大学の実験レポートで最後に実験の「考察」そして「感想」を書かなくてはいけないのですがなぜか「考察」ってどんなこと書けばいいのでしょうか?
色々考えてみたのですがなぜかどっちも同じようになってしまいます。

そもそも「考察」の意味が分かってないのかも…

色々教えてください。

Aベストアンサー

実験レポートの書き方は下記のようです。
【実験の目的】
どうしてこの実験が必要かを書きます。
【実験の器具、設備】
使用した器具、薬品を書く。
【実験の進めかた】
実験をどのように進めたかを書く。記録です。
【実験の結果】
どのような結果が得られたかを書く。
【考察】
実験のデーターからどのようなことがわかったかを
詳細に書くことですね。
これが重要ですね。結果から予測できることを簡潔に書きます。
失敗とか予想外の結果が得られた時ほど、
今後の実験に多いに影響しますので、
細かく書く必要があります。

下記のレポートの「考察」を参考になさってください。

参考URL:http://bw-www.ie.u-ryukyu.ac.jp/~j99029/rpc/


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