No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#3です。
補足質問について
>e^x>g(x)<2sinx (0<x<π/4)
>は
>e^x>g(x)>2sinx (0<x<π/4)の書き間違いですよね?
書き写し間違いでした。失礼しました。
>f1(x)=e^(x)-g(x)>0
>f2(x)=g(x)-2sin(x)>0
>を示せば良いのですね。
そうです。
>g(x)の候補を探すのは、問題によっては簡単ではなさそうな感じですね。
解答作成ではg(x)は「突然ひらめいた(思いついた)」簡単な関数でいいです。なぜそのg(x)が出てきたかは解答の中では触れる必要な無いですね。(大抵、問題の出題者は分かっているはずです)
g(x)を見つける方法
一次式ですから、2つの式のグラフの接線を使うのが自然です。
y=2sin(x)のx=0における接線は
y=2x
でy=2sin(x)に接していて
y=2sin(x)の上部にあります。
y=e^xは接線y=g(x)より、ずっと上に位置します。
あるいはy=e^xのx=0における接線は
y=x+1=g(x)ですからx>0では
e^x>x+1
が成り立ちます。
一方、y=2sin(x)はg(x)のずっと下にあります。
という事で
g(x)の候補を見つけるのは、不等号の左辺または右辺の関数が微分できて
接線が求められればg(x)は容易に見つかります。
無料の参考URLの関数グラフィックソフトGRAPESを使えば、グラフの上下関係(不等式の左辺と右辺の大小関係)ははっきり確認できますよ。
ぜひ使ってみてください。日本語のマニュアル付のソフトで便利ですよ。
参考URL:http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
No.3
- 回答日時:
>f'(x)<0 (0<x<π/4)
これは間違いです。
微分しても関数が繰り返すだけですので
#1さんの考え方が良いですね。
e^x>g(x)<2sinx (0<x<π/4)
という媒介となる関数g(x)でg'(x)=定数、g"(x)=0となる関数をもってきて
e^x>g(x)(0<x<π/4)
および
g(x)<2sinx (0<x<π/4)
を示して
e^x>2sinx (0<x<π/4)
となることを示す
いわゆる「三段論法」を使うとすっきりするでしょう
g(x)=x+1
または
g(x)=2x
を使うと
f1(x)=e^(x)-g(x)
f2(x)=g(x)-2sin(x)
という関数の大小関係がはっきりしますので
明確に大小関係を示せますよ。
返信ありがとうございます。
「三段論法」ですね。初めて、お聞きしました。
f'(x)<0
私のは間違いですね。
f'(x)は負から正に変わりますね。
e^x>g(x)<2sinx (0<x<π/4)
は
e^x>g(x)>2sinx (0<x<π/4)の書き間違いですよね?
f1(x)=e^(x)-g(x)>0
f2(x)=g(x)-2sin(x)>0
を示せば良いのですね。
g(x)の候補を探すのは、問題によっては簡単ではなさそうな感じですね。
No.2
- 回答日時:
f">0よりf'は単調増加
f'(0)<0 f'(π/4)=e^(π/4)-√2>2^(π/4)-√2>0
よってf(x)は0<x<π/4で最小値を持ちその時のxをaとすると
f'(a)=0を満たすからe^(a)-2cos(a)=0 (1)
f(x)の最小値は(1)を用いて
f(a)=e^(a)-2sin(a)=2(cos(a)-sin(a))>0 (0<a<π/4 より)
最小値が正よりe^x>2sinx (0<x<π/4)
すごく綺麗な解法ですね。
2^(π/4)-√2>0 は鋭いですね。
1回微分の値が正と負に分かれていることから
f'(a)=0を満たすaが存在し、かつaは最小値になる。
この結果から導けるとのことですね。
ありがとうざいました。
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