微分方程式の一般解

y \'\' + f1(x)y \' + f2(x)y=g(x)の場合の一般解はどのように表したらいいのでしょうか。

y \'\' + ay \' + by = g(x)のように係y \'\' + f1(x)y \' + f2(x)y=g(x)の数が定数だと特性方程式とロンスキーから導けるのですが

y \'\' + f1(x)y \' + f2(x)y=g(x)の場合はどのようなこうしきがあるのでしょうか。 またdy/dxとおく場合はどのようなときでしょうか。

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/23 04:41

定数係数n階線形微分方程式はロンスキーを使わずとも

その特性方程式たるn次多項式の根が求まれば一般的に解けるが
2階線形微分方程式
y"+p(x)・y'+q(x)・y=r(x)
を一般的に解く方法はない
ただし
y"+p(x)・y'+q(x)・y=0
の非零解y0(x)が1つでも分かっていれば一般解を解くことができる
y(x)=y0(x)・v(x)とおけばv'(x)の1階線形微分方程式
になるのでそれを解いてv(x)を求めy(x)=y0(x)・v(x)とすれば良い
つまり
y"+p(x)・y'+q(x)・y=r(x)
が解けるかどうかは
y"+p(x)・y'+q(x)・y=0
の解を1つでも見つけることができるかどうかにかかっている

この回答への補足

ありがとうございます。
そのような方程式は一般的な解法はないんですね。
また、今微分方程式を勉強中なのですが f(x)d^2y/dx^2 + g(x)dy/dx=0
の場合、dy/dx=pと置いてf(x)p’+g(x)p=0として1/p p’=g(x)/f(x)として解く方法があったのですが、それはどういったときにそう置いていいのでしょうか。

補足日時：2008/07/23 04:59

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/23 05:36

f(x)d^2y/dx^2 + g(x)dy/dx=0

を綺麗に書くと
p(x)=f(x)/g(x)とおけば
y"+p(x)・y'=0
ではないか
これは見掛け上2階だがy'の1階微分方程式だ
同次方程式なので変数分離でも解けるし
1階微分方程式の公式も使える
変数分離でやるにしても別にp=y'と置く必要もない
(y')'/y'=p(x)
の両辺を積分すると
ln(|y'|)=∫dx・p(x)
と直ちに求まる
p=y'と置く必要は常にない

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/23 05:40

つまらん修正

(y')'/y'=-p(x)
の両辺を積分すると
ln(|y'|)=-∫dx・p(x)
と直ちに求まる
p=y'と置く必要は常にない

この回答への補足

ありがとうございました。非常にわかりやすかったです。
ちなみにですが、f(x)d^2y/dx^2 + g(x)dy/dx=q(x) は p(x)=f(x)/g(x)とおけば
y"+p(x)・y'=q(x)/f(x)となり、一階線形微分方程式として解いていってもいいわけですね。間違ってたらごめんなさい。

補足日時：2008/07/23 06:03

No.4 回答者： guuman 回答日時： 2008/07/23 07:00

いい

聞くまでもないだろう
少しは頭を使え
y'が求まればあとはそれを積分するだけだろうが

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すごいわかりやすかったです。

お礼日時：2008/07/23 08:44