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二つの楕円(0<b<a)
x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・(1)
x^2/b^2+y^2/a^2=1・・・(2)    
の共通部分の面積を求めよ
という問題なのですが途中で分からなくなります

<私の途中までの考え方>
第一象限での共通面積S'の4倍=求めるべき共通面積
よってS=4S'
第一象限において二つの楕円の交点を(s,t)とする。
(1)を整理して
y=(b/a)√(a^2-x^2)
(2)を整理して
y=(a/b)√(b^2-x^2)
S'=∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx
ここでsがab/√(a^2+b^2)という所までは分かりました。

∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを
x=bsinθと置いて
範囲は
x;b→ab/√(a^2+b^2)
θ;π/2→?

ここのab/√(a^2+b^2)=bsinθとした時のθが分からず詰まってしまいました。
初歩的なことなのかもしれませんが・・・どなたか教えていただけないでしょうか?
もしかすると”x=bsinθと置いて”の部分からすでに違うのでしょうか?

ちなみに答えは4abtan^-1(b/a)です。

A 回答 (2件)

a≧b>0の場合は


> S'=∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx

S'=∫[s→b](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[0→s](b/a)√(a^2-x^2)dx
[積分の下限→積分の上限]の形式で書くようにして下さい。

> ∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを
∫[ab/√(a^2+b^2)→b](b/a)√(b^2-x^2)dx
と訂正すれば
> x=bsinθと置いて
この置き方でOK。
> 範囲は
> x;b→ab/√(a^2+b^2)
x:vab/√(a^2+b^2)→b
> θ;π/2→?
θ:tan^-1(a/b)→π/2
です。

なお、a≧b>0の場合は
S=8*∫[0→ab/√(a^2+b^2)] {(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)-x}dx
で計算できます。
この場合の変数変換はx=a*sinθ、θ:0→tan^-1(b/a)です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。前回の質問にも回答していただいた方ですね。
ご指摘ありがとうございます。次からは[積分の下限→積分の上限]の形式で書こうと思います。

ab/√(a^2+b^2)=asinθを整理し、
θ=tan^-1(b/a)を出すことは出来ました!

そのまま
S=8*∫[0→ab/√(a^2+b^2)] {(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)-x}dx
この積分で解いていったところ
S=
4ab*tan^-1(b/a)+2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
となったのですが。答えが4ab*tan^-1(b/a)なので
2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
この部分は0になるということですよね?
このsin{2tan^-1(b/a)}と
cos{2tan^-1(b/a)}の展開が出来ません。

お礼日時:2008/07/24 20:37

A#1の補足質問の回答



> この部分は0になるということですよね?
そうなります。

計算プロセスは下に書いておきます。
α=tan^-1(b/a)と置き換えると考えやすいですね。
α=cos^-1{a/√(a^2+b^2)}=sin^-1{b/(a^2+b^2)}
ですから
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(a^2+b^2)です。

[おまけの公式]
tan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2
cos^-1(x)+sin^-1(x)=π/2
これも覚えておく(導けるようにしておく)と役立つでしょう。

質問の件の計算プロセス
> このsin{2tan^-1(b/a)}と
> cos{2tan^-1(b/a)}の展開が出来ません。
sin{2tan^-1(b/a)}=2sin{tan^-1(b/a)}cos{tan^-1(b/a)} ←2倍角の公式
=2{b/√(a^2+b^2)}{a/√(a^2+b^2)}=2ab/(a^2+b^2)

cos{2tan^-1(b/a)}
=[cos{tan^-1(b/a)}]^2-[sin{tan^-1(b/a)}^2 ←2倍角の公式
={a^2/(a^2+b^2)}-{b^2/(a^2+b^2)}=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

> 2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
=2ab*{2ab/(a^2+b^2)}+2a^2{(a^2-b^2)/(a^2+b^2)}-2a^2
=(4a^2*b^2+2a^4-2a^2*b^2-2a^4-2a^2*b^2)/(a^2+b^2)
=0
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    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!
できました!
α=cos^-1{a/√(a^2+b^2)}=sin^-1{b/(a^2+b^2)}
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(a^2+b^2)
これが思いつかなかったようです。これをみて理解し、あとは自力で0を導けました!

tan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2の導き方もわかりましたよ!
tan^-1(a/b)=α、tan^-1(b/a)=β
として
cosα=sinβ=sin(π/2-α)を出し
β=π/2-α
よってtan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2ですね!
それでは失礼します

お礼日時:2008/07/25 04:06

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(1)と(2)の交点P1、P2を求めたいです。

それぞれの楕円は次の式で表されると思います。
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両式にa*a*b*bを掛け、差を取ると次のようになります。
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となります。

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---------- ================ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
となります。

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Aベストアンサー

別の解法を。

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Aベストアンサー

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面積Sは
>4{integrate (1-(x^2)/3)^(1/2) dx from 0 to (√3)/2 }
+ 4{integrate (3-3(x^2))^(1/2) dx from (3^(1/2))/2 to 1}
で求められる、という考えでいいでしょうか。

という考えで良いでしょう。

計算結果も
>この計算結果は1/3(2√3π)となりました。
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Aベストアンサー

>∫√(x^2+a^2)dx (A)
>=∫(t^2+a^2/2t)*(t^2+a^2/2t^2)dt + C

>となってるんですが、これはどういうことですか?

少し形が違います。この積分は少しコツがいるので、ぜひ覚えて下さい。以下のように置換します。
  t=x+√(x^2+a^2) (B)
すると
t-x=√(x^2+a^2)
両辺二乗すると根号がはずせるので
  t^2-2tx+x^2=x^2+a^2
xについて解くと
x=(t-a^2/t)/2⇒dx={(1+a^2/t^2)/2}dt
xを(B)に代入すると (√(x^2+a^2)のxには代入しない)
√(x^2+a^2)=t-(t-a^2/t)/2=(t+a^2/t)/2
これとdxを(A)に代入すれば

(1/4)∫(t+a^2/t)*(1+a^2/t^2)dt
=(1/4)∫(t+2a^2/t+a^4/t^3)dt
={t^2/2+2a^2lnt-a^4/(2t^2)}/4+C (Cは積分定数)
={(t^4-a^4)/(2t^2)+2a^2lnt}/4+C

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t^2=2x^2+a^2+2x√(x^2+a^2) (C)
⇒t^4=(t^2)^2=(2x^2+a^2)^2+2×2x√(x^2+a^2)(2x^2+a^2)+4x^2(x^2+a^2)
⇔ t^4-a^4=8x^2(x^2+a^2)+4x√(x^2+a^2)(2x^2+a^2)
=4x√(x^2+a^2){2x^2+a^2+2x√(x^2+a^2)} (D)

となるので(C),(D)を代入すると

[x√(x^2+a^2)+a^2ln{x+√(x^2+a^2)}]/2+C
となります。

 もっと一般にR(x,y)をx,yの有理関数とすると
∫R(x,√(ax^2+bx+c)dx
の積分はb^2-4ac<0の場合t=(√a)x+√(ax^2+bx+c)
とおくとtの有理関数の積分にできます。





  

>∫√(x^2+a^2)dx (A)
>=∫(t^2+a^2/2t)*(t^2+a^2/2t^2)dt + C

>となってるんですが、これはどういうことですか?

少し形が違います。この積分は少しコツがいるので、ぜひ覚えて下さい。以下のように置換します。
  t=x+√(x^2+a^2) (B)
すると
t-x=√(x^2+a^2)
両辺二乗すると根号がはずせるので
  t^2-2tx+x^2=x^2+a^2
xについて解くと
x=(t-a^2/t)/2⇒dx={(1+a^2/t^2)/2}dt
xを(B)に代入すると (√(x^2+a^2)のxには代入しない)
√(x^2+a^2)=t-...続きを読む

Q電機大はどの位とれば合格できますか?

東京電機大学の情報環境学部を受験しようと考えているのですが、
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最近、学部編成がどうのと広告があったので調べてみると、情報環境はすでに新体制のようです。(理工・工学部は再編成+未来科学部?)
また、大学のホームページに過去の一般入試の最低ラインがあったので載せときます。↓
センターについては分かりません(スイマセン^^)

参考URL:http://atom.dendai.ac.jp/nyu_gaku/060524_1557.html

Q不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?

DUO3.0 No404です
The vague rumor proved to be false. Nevertheless, some skepticism lingers on.
上記の二つ目の文章の主語は【some skepticism】ですが動詞に三単現のsが付いています。不可算名詞は三単現のsをつけるのが普通ですか?
よろしくお願いいたします。(他に不可算名詞が主語になっている例文があったら紹介してください。)

Aベストアンサー

こんにちは。4/22のご質問ではお返事を有難うございました。

1.ご質問文の主語skepticismは「無神論」「懐疑論」という主義をあらわす、抽象名詞です。

2.抽象名詞は不可算名詞になります。

3.不可算名詞は数えられません。つまり、単数と同じ扱いになるのです。

4.不可算名詞が主語になる場合、三人称単数の扱いになります。従って、ご質問文の動詞には、三単現のsが付いているのです。

5.Someは「いくつかの」「いくらかの」「ある程度」といった意味を持ち、可算名詞、不可算名詞、両方を修飾することができます。

6.不可算名詞が主語になっている例文:

The sun is necessary for flowers.
「太陽は花に必要だ」
There was much snow.
「沢山雪が降った」

などがあります。
以上ご参考までに。


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