慣性モーメントについて

ある問題を解いていたら、模範解答とどうしても異なる部分がでてきてしまいました。
僕がどのような考え違いを犯しているのかご指摘いただきたいです
どうぞよろしくお願いいたします

【問題】
x:鉛直下方向を正。y:水平方向を正。
としたとき、(0,y)の位置に(+-)y方向に摩擦なしで滑れる軸(というより軸の中心点)が付いている。
その中心点に剛体棒がxy平面内を自由に回転できるように取り付けられている。（剛体棒の端点のひとつは中心点と一致する）
また、中心点から鉛直におろした線から剛体に対して計る角度をθとするとき
（ラグランジュ方程式を求める上で必要となる）運動エネルギーを示せ。

ただし、剛体棒の長さは2lで質量はm,軸の質量などはすべて無視することにする。

【解答】
軸の中心点位置をA(0,y)として、剛体棒の重心Gと置いたとき
中心に対する回転を含めた重心の速度運動と、重心周りの回転運動として運動エネルギーを分類する立場に立つと、
重心速度は微小変位として線形化した場合
y' + lθ'となると思います。
(ゆえに1/2 m (y' + lθ')^2

また、重心周りの回転運動は
1/2 Ig α'^2 となるはずなのですが、(重心に対する回転角度)αがいまいちわかりません。

よって、中心に対する回転を含めた重心速度運動と重心周りの回転運動としてみる立場から
（軸）中心回りの回転運動と、回転による速度成分を除いた重心の速度運動としてみてみると
重心速度は
y'より
1/2 m y'^2
回転は
1/2 Ia θ'^2とあらわせ　（Ia=Ig+mll
Tを表せると思いました。
(すなわちT= 1/2 m y'^2 + 1/2 Ia θ'^2

が、しかし模範解答をみると
T=1/2 m (y' + lθ')^2　+　1/2 Ia θ'^2
となっており、僕の感覚からすると、lθ'を二度数えてるようにしか思えないのです。

が、しかし問題設定的に（この後の小問で）Tに(y'+lθ')^2の項が入っていないと解けない部分があるので、どうやら僕が間違いのようなのですが
どのような考え違いを僕は犯してしまっているのでしょうか？

どうぞよろしくご教授お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/13 12:18

まず，剛体がある点のまわりに角θ回転するとき，

剛体内のどの２点を結ぶ直線も，角θ回転しますよね。
端点Aを軸にして重心方向の回転を見ても，重心周りに
A方向の回転を見ても，回転角は同じです。もちろん，
この場合の回転角というのは，静止した立場から
（系の外から）見た回転角をとらなければならないので
このことがいえるわけですね。

剛体の運動解析の方法としては，重心運動と重心周りの
回転運動に分けるのが筋でしょう。全体としての直線運動
と回転運動に分けるのは無理だと思います。

>まとめると、
>考え方としては
>固定軸の場合→軸中心の1/2Iaθ'^2のみ。
>軸が動く時→重心中心の1/2Igθ'^2および1/2　m vg^2
>という考え方で問題ないということでしょうか？
そのとおりですね。ちなみに，固定軸の場合についても
これを重心運動と回転運動に分けることができます。
重心運動　1/2 m(lθ')^2
重心周りの回転　1/2 Ig θ'^2
結果的に平行軸の定理　Ia=Ig+ml^2 が証明できました。

この回答へのお礼

なるほど。
おかげさまで大変よく理解できました。

度々質問にお答えいただきどうもありがとうございました。

お礼日時：2008/08/15 16:57

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2008/08/12 17:49

>が、しかし模範解答をみると

>T=1/2 m (y' + lθ')^2　+　1/2 Ia θ'^2
第２項Iaは，Igではないでしょうか？

最初の考え方がまっとうなもので，回転角αは
θでよいのです。そのあとの操作
>（軸）中心回りの回転運動と、回転による速度成分を
>除いた重心の速度運動としてみてみると
>重心速度は
>y'より
>1/2 m y'^2
が失敗ですね。1/2 m (y' + lθ')^2を展開したときの
y'・lθ'の項が消えてしまいました。この場合，
重心運動の運動エネルギーを軸移動速度によるものと
回転速度によるものとに分けることはできないわけです。

この回答へのお礼

早速のコメントありがとうございます。

解答が間違っていて第二項がIgでしたら、確かに設問としては理にかないます。

ただ、ご指摘の回転角α＝θでよいというのがよくわからないのですが、ご説明いだたけないでしょうか？


θであらわせそうにないと思ってしまったので後半の間違いになってしまったようなので。

まとめると、
考え方としては
固定軸の場合→軸中心の1/2Iaθ'^2のみ。
軸が動く時→重心中心の1/2Igθ'^2および1/2　m vg^2
という考え方で問題ないということでしょうか？

重ね重ね恐縮ですがどうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時：2008/08/12 21:06