積分について教えてください。

(1-(sinX)^2)^(1/2)
の不定積分が解けないのですが、どなたか教えていただけませんか?

No.1 ベストアンサー 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/09 23:47

　　∫√(1 - (sinx)^2) dx

のことですよね？
　　(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1
より，
　　1 - (sinx)^2 = (cosx)^2
ですから，
　　∫√(1 - (sinx)^2) dx = ∫cosx dx = sinx + C (Cは積分定数)

気付けば簡単ですが，なかなか気付けないですよね．

この回答への補足

hatake333さん、Mr_Hollandさん、ご回答ありがとうございます。
補足なんですが、
∫√(1 - A*(sinx)^2) dx
となった場合はどうなるかについても、教えていただけませんか?

補足日時：2008/10/10 00:14

No.6 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/10 01:40

　＃３／＃５です。

＞ところで、∫|cos(x)|dx=sin(x)*signum(cos(x))+C　はｘ＝π/2で不連続になると思うのですが。

　＃４のinfo22さん、ごめんなさい。
　私の方こそ不連続でした。

　質問者さん、最初の不定積分の答えを次のように訂正させてください。どうもすみませんでした。

　(2n-1)π/2≦X≦(2n+1)π/2のとき、
　　　∫(1-(sinX)^2)^(1/2) dx＝ sin(X+nπ） + 2n + C

　グラフ的には（積分定数Cを無視すると）、０～π/2まではsinX ですが、π/2～3π/2はsinXのグラフをｘ軸について対称移動させてｙ軸正の方向に２だけ平行移動させたものになり、3π/2～5π/2ではsinXのグラフをｙ軸正の方向に４だけ平行移動させたものになるかと思います。

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/10 01:07

　＃３です。

＞補足なんですが、
＞∫√(1 - A*(sinx)^2) dx
＞となった場合はどうなるかについても、教えていただけませんか?

　いきなり難しくなりましたね。
　こうなると＃４さんの言われるように楕円積分になってしまいます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86% …

　ところで、∫|cos(x)|dx=sin(x)*signum(cos(x))+C　はｘ＝π/2で不連続になると思うのですが。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2008/10/10 00:53

∫|cos(x)|dx=sin(x)*signum(cos(x))+C

となります。
ここで、
signum(t)関数は次式で定義される関数です。
signum(t)=1(t>0),=0(t=0),-1(t<0)

∫√(1±A*sin^2(x))dx　（A≠0)
この積分は解析的には積分できません（初等関数では積分結果を表せません）。（特殊関数の楕円積分を含む積分結果が出てきます）

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/10 00:07

　√は負にならないので絶対値をつけて、√{1-(sinX)^2}＝|cosX|　としなければなりません。

　従って、この不定積分は次のようになると思います。

　(2n-1)π/2≦X≦(2n+1)π/2のとき、
　　　∫(1-(sinX)^2)^(1/2) dx＝sinX + 2n + C

　グラフ的には（積分定数Cを無視すると）、０～π/2まではsinX ですが、π/2～3π/2はsinXのグラフをｙ軸正の方向に２だけ平行移動させたものになり、3π/2～5π/2では同様に４だけ平行移動させたものになるかと思います。

No.2 回答者： m234023b 回答日時： 2008/10/09 23:50

1-sin^2 (x)=cos^2 (x)ですよ～

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