電流密度の式を導くには、
なぜ、ベクトルポテンシャル(A)を考慮すべきなのか?
自由電子の運動量がmvではなく、
mv+qA
となるが、第2項目の意味は何か?

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A 回答 (3件)

おそらく、電磁場(真空)内で運動する質量m、電荷qの粒子に関する問いだと思います。

違っていたらゴメンナサイ。
とにかくこのような系では、電場、磁場をそれぞれE、Bとすると、粒子に働く力は、
     F = q{E + (v×B)}            ・・・・・・・(1)
なので、これからNewtonの運動方程式を書いていけばこの運動を記述できます。しかし、一般化された運動量Px,Py,Pzは、
ラグラジアンL が解らないと求められないですね、つまり、Px,Py,Pzは、ラグラジアンをそれぞれ、x,y,zの時間微分
x', y', z'(以後このように書きます)で偏微分したものですから。しかし、(1)を見れば解るように、力は速度vに
依存していますから、ラグランジアンを「(運動エネルギー)-(ポテンシャル)」から求めるのは非常に難しく、
それよりも逆に、オイラー・ラグランジュの方程式において、上の運動方程式と同値になるようなラグランジアンを見つ
けた方が簡単になります。そのラグランジアンとは、
     L=運動エネルギー+q(x'Ax, y'Ay, z'Az)-qΦ ・・・・・・・(2)
です。これをx', y', z'で偏微分すると、「269nk」さんが書いた運動量、
     Px=mx'+qAx, Py=my'+qAy, Pz=mz'+ qAz ・・・・・・・(3)
が導かれます。
ところで、質問にずばり答えましょう。
この運動量の式のqAの項は、この系が速度に依存した力の場である特色を表しています。
ベクトルポテンシャルAを考慮する理由は、単に、EとBからAとΦ(スカラーポテンシャル)に代えることで計算が
ラクになるからです。
(注意・・・上文中のF、E、v、B、Φ、Aはベクトルですから、太字にするか矢印が要ります)
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この回答へのお礼

ずばり答えていただいて、ありがとうございました.

もうすこし、勉強してみます。

お礼日時:2001/02/23 23:38

siegmund です.


前の回答では大変失礼しました.

さて,alien55 さんが回答書かれていますので,補足を少し.

ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係は B = rot A ですから
同じBを与えるAは無数にあります(rot grad Λ = 0 だから).
ゲージの選び方の自由度と称しています.
スカラーポテンシャルの方と合わせて表現すれば,
A → A* = A - grad Λ
φ→ φ* = φ + ∂Λ/∂t
としても,EとBは変わりません.

> ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、
> あるいは、 実際、磁場の周りに回転して存在するのか。

上のように見ると,単に計算が楽のためにあるようにも見えます.
それでも,Eのポテンシャルが電位(⇔電位差⇔電圧)ですから,
同じような意味でベクトルポテンシャルの存在意味はあります.
ラグランジアン,ハミルトニアンでは直接のEやBではなくて
ポテンシャルが入ってきますから,ハミルトニアンをつかう量子力学では
ベクトルポテンシャルが本質的です.

さらに,アハラノフ-ボーム効果というのがあります.
電子の通り道を途中で2つに分けまた一緒にする.
図が書けないので困るんですが,
ドーナツに2本の棒をつけたようなものを想像してください.
ドーナツのところが道が2つに分かれたというところです.
で,分かれた道の中空部(ドーナツの穴)だけに磁場を通します.
電子は中空部を通らないから,磁場のないところばかり通るわけです.
では,磁場を通しても通さなくても同じか?
そうはならなくて,磁場を通すと干渉効果に違いが出てくることが実験で
確かめられています.
実は,磁場はドーナツの穴のところだけでも,
ベクトルポテンシャルは全体に広がっています.
このアハラノフ-ボーム効果は,
電子がBそのものではなくてAの効果を感じていることを直接示す実験です.
超伝導での同様な効果はジョセフソン効果として知られています.
そういう意味でも,ベクトルポテンシャルは実在的意味があります.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました.
もう少し,勉強してみます。

お礼日時:2001/02/25 16:58

質問の言葉遣いからして,


レポート問題(?)をそのまま書いているように思えるのですが.....
違っていたら失礼.

どういう立場の方で,どの程度のレベルの話か,
どこが困っているか,など補足下さい.

この回答への補足

大変、遅くなってしまってすみません。
レポート課題では、ありません。
本を読んで勉強していたのですが、
電流密度の式は、ベクトルポテンシャルを考慮すべきだ
という具合にかいてあったのですが、
なぜ、考慮すべきかわからなかったのです。
ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、
あるいは、
実際、磁場の周りに回転して存在するのか。だとすると、、、という具合でした。

もしよろしければ、
説明等、おねがいします。

補足日時:2001/02/23 21:44
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問1

角運動量の定義は

l = r × p = m r × v (全部ベクトル)

です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F

この角運動量を微分したので

dl/dt = dr/dt × p + r × dp/dt (時間以外ベクトル)

になっています。

時間微分が0なのだから、時間に対して定数、つまり保存されている。

問2

向心力がC/r^2なので

m v^2 /r = C / r^2

から

v = C/mr

いわゆる一つのボーアのモデルですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%AD%90%E6%A8%A1%E5%9E%8B#.E6.B0.B4.E7.B4.A0.E5.8E.9F.E5.AD.90.E3.81.AE.E8.BC.9D.E7.B7.9A.E3.82.B9.E3.83.9A.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB

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です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F

この角運動量を微分したので

dl/dt = dr/dt × p + r × dp/dt (時間以外ベクトル)

になっています。

時間微分が0なのだから、時間に対して定数、つまり保存されている。

問2

向心力がC/r^2なので

m v^2 /r = C / r^2

から

v = C/mr

いわゆる一つのボーアのモデルですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%AD%9...続きを読む

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ここで、tAとtB では、Δq =0 なので、第一項は0になり、
これから、ラグランジュの方程式が出てくるのは、わかります。

そうせずに、全体をΔqで微分(偏微分)すると、

∂S/∂q=∂L/∂q' + ∫_tA^tB dt 0

なので、一般化運動量pを∂L/∂q' と置くと、
p=∂S/∂q となりました。

それで、tAの時点での一般化運動量をpAとし、tBの時点での一般化運動量をpBと
すると、運動量保存則から、
pA=pB となると思うのです。
仮に、外力による運動量の増加Δpがあったとしても
pB=pA+Δp と思います。

しかし、本には、
tAの時点では、-pA  tBでは、 pB と書いてあります。
何故、- がつくのかわかりません。

Aベストアンサー

Δqは時間の関数ですので、特にt=tA でのΔqをΔq_A, t=tB でのΔqをΔq_Bと以下で書くことにします。
[ΣΔq ∂L/∂q']_tA^tB = ΣΔq_B ∂L/∂q'|_{t=tB} - ΣΔq_A ∂L/∂q'|_{t=tA} ですから、ラグランジュの運動方程式が成り立っているとき、
∂S/∂q_A = -∂L/∂q'|_{t=tA} = -pA
∂S/∂q_B = ∂L/∂q'|_{t=tB} = pB
となります。

少し説明を加えますと、Sというのを、q_A, q_Bを与えたとき、q_Aを始点としq_Bを終点とするラグランジュの運動方程式を満たす軌道にそってLを積分した値を返すような関数S(q_A, q_B)として定義した場合に、
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Q交流電流のベクトル記号法(複素数)と極座標表示の計算

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(問題)
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まずベクトル記号法(複素数)で計算してみます。
 I=7.43∠-68.2°=4.53+5.89j
 I1=(4.53+5.89j)×(5/(3+4j+5))
  =5×(0.7475+0.36237j)
  =3.737+1.812j
 これを極座標表示にすると、4.1535∠25.863°(解1)

つぎに、極座標で計算してみます。
 I1=7.43∠-68.2°×(5/(3+4j+5))
  =7.43∠-68.2°×0.56∠-26.6°
  =7.43×0.56∠(-68.2°-26.6°)
  =4.161∠-94.8°(解2)

問題集では、解2が正解のようなのですが、なんであわないのかが「??」になってしまいました。
どこが間違っているかわかりますでしょうか。よろしくお願い致します。

いくら計算してもあわないので、すみませんが、以下の計算を一緒に考えていただけないでしょうか。

(問題)
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まずベクトル記号法(複素数)で計算してみます。
 I=7.43∠-68.2°=4.53+5.89j
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  =5×(0.7475+0.36237j)
  =3.737+1.812j
 これを極座標表示にすると、4.1535∠25.863°(解1)

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