運動エネルギーについての問題

授業で出された課題でわからないものがあったので、教えてください。

「一次元の運動を考える。
(1)質量ｍのボールを速度ｖでまっすぐ投げる。このとき、投げられたボールの運動エネルギーは １/２ ｍｖ2
(2)速度ｖで走っている電車内に人がいて、その人がボールを持っているとすると、そのボールの運動エネルギーは(1)と同じ　１/２ｍｖ2
(3)速度ｖで走っている電車内で、電車と同じ方向に速度ｖでボールを投げたら、ボールの運動エネルギーは　１/２ ｍ(２ｖ)2 ＝ ２ｍｖ2

どうして、(1)の運動エネルギー＋(2)の運動エネルギー＝(3)の運動エネルギーとはならないのか？」
という問題がわからなかったので教えてください。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： matelin 回答日時： 2008/12/09 15:01

こんにちは。

Ｎｏ２で回答した者です。
ここでは、別の観点から説明します。

　　（投げた後のボールの運動エネルギー）＝
　　（投げる前のボールの運動エネルギー）＋（投げる間にボールに対して行った仕事の量）…（＊＊）

上の関係は一般的に成り立つものですが、もう習いましたか？　
これに基づいて、問題を考えてみましょう。

Ｎｏ２と同じく、
　電車の速さを　Ｖ　とし、
　投げた後の電車に対するボールの速さを　ｖ　とします。

さて、この変化をどの観測者の立場で考えるのか、を明らかにすることが大切です。
ここでは、地上に静止している観測者の立場で考えましょう。
　（投げた後のボールの運動エネルギー）＝これがあなたの（３）の運動エネルギーです。
　（投げる前のボールの運動エネルギー）＝１/２ ｍＶ＾２＝これがあなたの（２）の運動エネルギーです。
　（投げる間にボールに対して行った仕事の量）＝（ボールに加えた力）×（力を加えながらボールを動かした距離）
この仕事の量も、地上の観測者Ａと電車中の観測者Ｂとでは、違った値になるのです。
（ボールに加えた力）は、Ａから見ても、Ｂから見ても、同じ値（Ｆとする）です。
しかし、（力を加えながらボールを動かした距離）が、
Ａから見た値（Ｄａとします）とＢから見た値（Ｄｂとします）とでは、
異なります。その間の関係は、

　　Ｄａ＝Ｄｂ＋（ボールに力を加えている間に電車が動いた距離）

です。今は、Ａの立場で考えているので、仕事もＡから見たものを使う必要があります。その仕事は、力×距離より、
　　Ｆ×Ｄａ＝Ｆ×Ｄｂ＋Ｆ×（ボールに力を加えている間に電車が動いた距離）

さて、電車中の観測者の立場で上の（＊＊）の関係を考えると、
　　Ｆ×Ｄｂ＝１/２ ｍｖ＾２＝（（１）の運動エネルギー）
が得られます。これを上の式に代入すると、
　　Ｆ×Ｄａ＝（（１）の運動エネルギー）＋Ｆ×（ボールに力を加えている間に電車が動いた距離）

以上の式を（＊＊）の式に代入すると、

　（(3)の運動エネルギー）＝
　（(2)の運動エネルギー）＋（（１）の運動エネルギー）＋Ｆ×（ボールに力を加えている間に電車が動いた距離）

となります。
Ｆ×（ボールに力を加えている間に電車が動いた距離）の分だけ、違いが生じるということです。
ちなみに、この値は、上の回答Ｎｏ２の「＋ ｍｖＶ」と等しいのです。

この回答へのお礼

ボールに力を加えている間に電車が動いているから、その分違いが生じるのですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2008/12/11 12:25

No.4 回答者： matelin 回答日時： 2008/12/09 15:17

Ｎｏ３の続きです。

Ｎｏ３は長くなったので、ここではポイントだけを書きます。

　　（投げた後のボールの運動エネルギー）＝
　　（投げる前のボールの運動エネルギー）＋（投げる間にボールに対して行った仕事の量）…（＊＊）

上の公式を当てはめる時、どの観測者の立場に立つかを、
はっきりさせなければなりません。
しかも、運動エネルギーと仕事量とを、同じ観測者の立場で考えることも必要です。

運動エネルギーは、地上の観測者の立場で考え、
仕事量は電車中の観測者の立場で考えると、（＊＊）より、
　　（(3)の運動エネルギー）＝
　　（(2)の運動エネルギー）＋（（１）の運動エネルギー）
という、関係が出てきますが、これは誤りです。
なぜなら、運動エネルギーと仕事量とを、同じ観測者の立場で考えていないからです。

No.2 回答者： matelin 回答日時： 2008/12/09 12:09

こんにちは。

同じ運動物体の持っている運動エネルギーでも、
それを観測する観測者が違えば、
その観測者に対する物体の運動エネルギーの大きさが異なります。
そこで、運動エネルギーを計算するときの公式は、正確に言うと、
次のようになります。

　（観測者に対する物体の運動エネルギー）＝
　　１／２×（物体の質量）×（その観測者に対する物体の速さ）＾２　…（＊）

　　注意：「＾２」は、その前の値を２乗したものを表す記号。

あなたの（３）のボールの運動エネルギーの値は、
地上に静止している観測者Ａに対するもの（Ｅaとする）でも、
電車の中で静止している観測者Ｂに対するもの（Ｅbとする）でも、
上の公式（＊）に従って計算したものが基本（話の出発点）になるのです。

ここでは、問題を分かりやすくするために、
　　電車の速さを　Ｖ　とし、
　　電車に対するボールの速さを　ｖ　とします。

地上に静止している観測者Ａに対する、ボールの速さは、ｖ＋Ｖですから、
運動エネルギーを計算する公式（＊）に従って計算すると、
　　　　Ｅa＝１/２ ｍ（ｖ＋Ｖ）＾２　　です。
また、Ｅb＝１/２ ｍｖ＾２　　です。

上のＥaの式を、かっこをはずして展開すると、
　　Ｅa＝１/２ ｍｖ＾２＋ ｍｖＶ＋１/２ ｍＶ＾２
　　Ｅa＝Ｅb＋ ｍｖＶ＋１/２ ｍＶ＾２
となりますね。これが、ＥaとＥbとの正しい関係式です。

　　「(3)の運動エネルギー＝(1)の運動エネルギー＋(2)の運動エネルギー＋ ｍｖＶ」
というのが、正しい関係であり、「＋ ｍｖＶ」という項が付くのです。

もう一度、計算を振り返れば、
　　（ｖ＋Ｖ）＾２＝ｖ＾２＋２ｖＶ＋Ｖ＾２
であり、右辺の中間項　２ｖＶ　があるために、
　　「(1)の運動エネルギー＋(2)の運動エネルギー＝(3)の運動エネルギー　とはならない」
のだと言えるでしょう。

No.1 回答者： yoyox 回答日時： 2008/12/08 20:38

速度がn倍になれば運動エネルギーはnの自乗倍になるからです。

運動エネルギーの公式、1/2・mv^2 をよく見ればお分かりでしょう。
（vの二乗は v^2 と表現します。）

大雑把に言ってしまうと、車が30kmで衝突した場合と、
60kmで衝突した場合では破壊力は4倍の開きがあるということです。

この回答へのお礼

迅速な回答ありがとうございました。
vの二乗は v^2とあらわすことを知りませんでした。以後気をつけます。

お礼日時：2008/12/11 12:21