閉包について

閉包の記号をどう打つのかわからないので、"とさせていただきます。
たとえば、Aの閉包の場合→A"

問題
(A∪B)"=A"∪B"を示せ。

(i)
(A∪B)"⊂A"∪B"を示す。
A⊂B⇒A"⊂B"を利用すると
(A∪B)⊂Aより(A∪B)"⊂A"
(A∪B)⊂Bより(A∪B)"⊂B"
したがって
(A∪B)"⊂A"∪B"

(ii)
(A∪B)"⊃A"∪B"を示す
(A∪B)"は閉集合で、A∪Bに含まれているから
(A∪B)"⊃A"∪B"

よって(i),(ii)より題意は示せた。

という証明で合っているでしょうか？
似たような問題があり、それを真似して証明してみました。
まだしっかりと理解しているわけではないので、間違っているところがあったらご教授お願いします。

※A⊂B⇒A"⊂B"は既に証明してあるとする。

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/12/21 22:41

空間に位相を定義する方法は、イロイロあります。

開集合族を指定する。開集合基を指定する。開核を定義する。
閉集合族を指定する。閉集合基を指定する。閉包を定義する。
近傍系を指定する。近傍基を指定する。
収束概念を定義する(←これは、上手くいくかどうか微妙。) etc.
どれでも同等で、どこから始めても、他のものの定義は付属してきます。

閉包を定義して始めた場合、質問の命題は閉包の公理の一部ですから、
証明は「定義より自明」で終わりです。
そういうふざけた話にならないためには、
空間の位相をどのように定義したか、明示することが必要です。
その定義の下で、閉包をどのように定義したかも書くべきでしょう。

そうでないと、問題が定義されません。

参考： http://www.amazon.co.jp/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81 …

この回答へのお礼

まず問題を定義しなくてはならないのですね。
URLの方、参考にさせて頂きます。


ありがとうございました！

お礼日時：2008/12/22 17:26

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/12/21 22:07

>(A∪B)⊂Aより・・・

>(A∪B)⊂Bより・・・

これはいったい何ですか？

閉包の定義は何ですか？位相空間Xにおいて、x∈Xの任意の近傍をV(x)としたとき、Ａの閉包を{x∈X|A∩V(x)≠φ}として考えればいいですよね。
証明は超～簡単です。

この回答への補足

>(A∪B)⊂Aより…
>(A∪B)⊂Bより…
は間違えてます。初歩すぎるミスですみません！

閉包の定義は、Aを含む最小の閉集合をAの閉包といい、A"で表すです。

ojisan7さんがおっしゃる近傍なんですが、次の授業で習う予定なのでまだ使えないんです。


(A∪B)"=A"∪B"を示すということなので、(A∪B)"⊂A"∪B"と(A∪B)"⊃A"∪B"を示せばよいと思ったのですが、証明のやり方も違うのでしょうか？

補足日時：2008/12/22 00:36

この回答へのお礼

無事解くことができました。
他にもやり方があることを教えて頂けたので、近傍を習ったら、やり直してみたいと思います。

ありがとうございました！

お礼日時：2008/12/22 17:17

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/12/21 21:50

>(A∪B)⊂Aより

イキナリ間違えているので、それ以降読むのを止めた。

この回答への補足

< (A∪B)⊂Aより…
< (A∪B)⊂Bより…
は間違いです。すみません！


(A∪B)"=A"∪B"を示すために、(A∪B)"⊂A"∪B"と(A∪B)"⊃A"∪B"を示せばよいと思うのですが、これも間違いでしょうか？

補足日時：2008/12/22 00:50

この回答へのお礼

無事解くことができました。
間違いを気付かせて頂き、ありがとうございました。

お礼日時：2008/12/22 17:29