No.1ベストアンサー
- 回答日時:
> 最初にAから球を一個取り出すときは確率に作用されないので、Bに白3つ、赤1つという風な状況から一個取り出す確率をP1=1/4と解釈してよいのでしょうか。
それでいいと思います。
> Pn+1とPnの関係がよくわかりません。
何回目の操作でも、
「Aの袋の中にある3個の球から1つ取り出してBに入れて」、
「Bの袋の中にある4個の球から1つ取り出してAに入れる」
ということは変わりません。
また、
「Aの袋に赤玉がある場合、Aの袋から赤玉を取り出す確率は1/3」ということと
「Bの袋に赤玉がある場合、Bの袋から赤玉を取り出す確率は1/4」ということも
変わりませんよね。
この「変わらないもの」を把握しておいて下さい。
本題に入ります。
n回目の操作後の状況として考えられるのは次の2つの場合です。
[1] n回目の操作後、Aの袋に赤球がある。
[2] n回目の操作後、Bの袋に赤球がある。
この2つに場合分けし、「n+1回目の操作後にAの袋に赤玉が入る確率」を計算します。
[1] n回目の操作後、Aの袋に赤球がある。
(1) 最初にAの袋から白玉を取り出した場合
n+1回目の操作終了後、Aの袋に赤玉がある。
この確率は2/3
(2) 最初にAの袋から赤玉を取り出した場合
Bの袋から赤玉を取り出したら、n+1回目の操作終了後、Aの袋に赤玉がある。
この確率は(1/3) × (1/4) = 1/12
(1)、(2)より、求める確率は2/3 + 1/12 = 3/4
[2] n回目の操作後、Bの袋に赤球がある。
省略します。
この[2]で求まる確率をqとおきます。
[1]の場合が起こる確率はPnで、[2]の場合が起こる確率は(1 - Pn)です。
よって「n+1回目の操作後にAの袋に赤玉が入る確率Pn+1」は次のようになります。
Pn+1 = (3/4)Pn + q(1 - Pn)
あとはこれを展開して同類項をまとめて整理すれば、
見慣れた数列の漸化式になります。
No.2
- 回答日時:
>最初にAから球を一個取り出すときは確率に作用されないので、Bに白3つ、赤1つという風な状況から一個取り出す確率をP1=1/4と解釈してよいのでしょうか。
OKです
>Pn+1とPnの関係がよくわかりません。
まず
袋Aに赤玉が入っているとき(確率Pn)は
袋A:白2赤1
袋B:白3
になっています。
この状態から1回操作を行い赤玉がAの袋に入っている状態にするには
袋Aから赤玉を取り出さない→2/3
or
袋Aから赤玉を取り出し、袋Bから赤玉を取り出す→1/3*1/4
になります。
赤玉が袋Bに入っているとき(確率1-Pn)
この状態から1回操作を行い赤玉がAの袋に入っている状態にするには
P1の考え方と同じく1/4
です。これで漸化式を立てられます
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