マセマの合格！数学I・Ａについての質問です。

p40の「相加・相乗平均と最大・最小」の(3)についての質問です。

ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＝１のとき、次の問いに答えよ。

(3)　1/x+4/y　の最小値を求めよ。とあり解答はまず与式にｘ＋ｙをかけて（∵ｘ＋ｙ＝１）相加・相乗を使ってるのですが、自分はそのまま与式に相加・相乗を使ってｘｙの最大値を求め（ｘｙの最大値→1/4）それを代入し最大値を求めたのですが、答えが一致しませんでした。
どうして一致しないのか分かる方がいらっしゃいましたら、ご回答よろしくお願いします。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/03/11 17:52

別解。

座標を習っているなら、a＋b＝ab、a＞0、b＞0から、（a-1）*（b-1）＝1として、ab平面上の第1象限で、直線：k＝a＋4bの値の範囲を考えても良い。

もし、座標が駄目なら、方程式は習ってるだろうから、それでやってみよう。

1/x＝a、1/y＝bとすると、x＋y＝1より、a＋b＝ab‥‥(1)　a＞0、b＞0.
a＋b＝ab＝mとすると、aとbは　2次方程式：t＾2-mt＋m＝0の2つの正の解から、判別式≧0、2解の和＞0、2解の積＞0より、結局は、m≧4　‥‥(2)　k＝a＋4b＝（a＋b）＋3b＝m＋3b＞4　‥‥(3)
a＝k-4bを(1)に代入すると、b＞0より　4b＾2-（k+3）b+k＝0　‥‥(4)が少なくても1つ正の実数解を持てば良い。k＞0から2解の和＞0、2解の積＞0から2解共に正。従って、判別式≧0であれば良い。
実際計算すると、(3)からk＞4より、k≧9.
この時、a＝3、b＝3/2、から　x＝1/3、y＝2/3.

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/03/11 15:07

模範解答は、ちょつと巧妙なんで、余り薦めない。

どうせ相加平均・相乗平均を使うなら。。。。

1/x＝a、1/y＝bとすると、x＋y＝1より、a＋b＝ab、a＞0、b＞0.　（a-1）*b＝aとなるが、a≠1より、b＝a/（a-1）‥‥(1)。
条件から、0＜x＜1、0＜y＜1より、(1)を使うと、a-1＞0.‥‥(2)
Ｐ＝（1/x）＋（4/y）＝a＋（4a）/（a-1）＝（a＋4）＋（4）/（a-1）＝（a-1）＋（4）/（a-1）＋5。‥‥(3)
(2)より、(3)に相加平均・相乗平均を使うと、（a-1）＋（4）/（a-1）＋5≧9。等号は　a-1＝2　つまり、x＝1/3、y＝2/3の時。

まぁ、こっちもちょっと気が付き難いだろうから、素直にやるなら、1文字を消して微分かな？
あっ、そうか、数学I・Ａ　じゃ駄目か。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/03/11 12:48

この与式に相加・相乗を使うと

1/x+4/y≧2√(4/xy)
になりますね、等号が成立するのは1/x＝4/yつまり、x=1/5、y=4/5の時であり、xyが最大値をとるのはx=y=1/2の時です

つまり、xyが最大値を取る時と等号が成立する時のxyの値が違うのでダメです